1108一般周期函数的傅里叶级数

第八节一般周期的函数的傅里叶级数一、以2l为周期的函数的傅里叶展开二、傅里叶级数的复数形式一、以2l为周期的函数的傅里叶展开周期为2l函数f(x)周期为2函数F(z)变量代换lxz将F(z)作傅氏展开f(x)的傅氏展开式设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在f(x)的连续点处)naxlxnxflbllndsin)(1其中定理.l1xlxnxflldcos)(),2,1,0(n),2,1(n证明:令lxz,则令,)(zlf则))2(()2(zlfzF)2(lzlf)(zlf所以且它满足收敛定理条件,将它展成傅里叶级数:(在F(z)的连续点处))(xf变成是以2为周期的周期函数,zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1),2,1,0(n),3,2,1(n),2,1,0(n),3,2,1(n(在f(x)的连续点处)xlxnxflldcos)(证毕说明:),2,1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在f(x)的连续点处)如果f(x)为偶函数,则有(在f(x)的连续点处)),2,1,0(dcos)(nxlxnxfan其中注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数收敛于如果f(x)为奇函数,则有例2.把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有2oyx2022xbnxxnd2sin022sin22cos22xnnxnxnnncos414)(nxf2sin)1(1xnnn)20(x在x=2k处级数收敛于何值?2oyx(2)将作偶周期延拓,2022xanxxnd2cos022cos22sin22xnnxnxn224(1)1nnxxf)(200d22xxa则有1222)12(cos)12(181kxkk)20(x说明:此式对也成立,8)12(1212kk由此还可导出121nn8261212nn1222)12(cos)12(181)(kxkkxxf)20(x据此有2oyx当函数定义在任意有限区间上时,方法1令,2abzx即2abxzzabzfxfzF,)2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里叶级数)(zF周期延拓将2abxz在代入展开式上的傅里叶级数其傅里叶展开方法:方法2令zazfxfzF,)()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦级数)(zF奇或偶式周期延拓将代入展开式axz在即axz上的正弦或余弦级数)(zFz55例3.将函数展成傅里叶级数.解:令设)55()10()()(zzzfxfzF将F(z)延拓成周期为10的周期函数,理条件.由于F(z)是奇函数,故50)(52zbnzznd5sinnn10)1(),2,1(n则它满足收敛定5sin)1(10)(1znnzFnn)55(z利用欧拉公式二、傅里叶级数的复数形式设f(x)是周期为2l的周期函数,则lxnblxnaaxfnnnsincos2)(101cos)2nxlnxnxiillee2sinilxnlxnlxniiee1022)(nnaaxf2nbi1022nnnbiaa2nnbialxnielxnie0cncncllxfl)(21llxxfld)(21200acllxlxnxfldcos)(1212nnnbiacllxlxnxflidsin)(llxlxnilxnxfldsincos)(21llxfl)(21),2,1(dnxlxnie注意到2nnnaibcxd同理),2,1(nnxile傅里叶级数的复数形式:1()d2nxlilnlcfxexl()nxilnnfxce),2,1,0(n因此得式的傅里叶级数.例4.把宽为,高为h,周期为T的矩形波展成复数形解:在一个周期它的复数形式的傅里叶系数为Th内矩形波的函数表达式为220d)(1TTttuTc22Toyx22Th2221()dTntiTTutetT2221dntiThetTTnnhsin),2,1(nThtu)(hTtnineTnn2sin10n2inTThTniTnieeinh21Ttnie222为正弦级数.内容小结1.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式)(xf20a(x间断点)其中xlxnxfllldcos)(1xlxnxfllldsin)(1),1,0(n),2,1(n当f(x)为奇函数时,(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓3.傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出思考与练习1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?答:用系数公式计算如分母中出现因子n－k从而便于计算系数和写出收敛域.,,时nnbakkba或则必须单独计算.备用题期的傅立叶级数,并由此求级数(91考研)解:y1ox12为偶函数,1)1(222nn因f(x)偶延拓后在展开成以2为周]1,1[x的和.故得得故8)12(1212kk121nn62202cos1dxnxxan1DDnxxcos2nxnxsin12nxncos212nxnsin31020322sin2cos2sin1nxnnxnxnxnx]02[22n,42n.Fourier]2,0[)(32级数上展开成在将例xxf,38122020dxxa解202sin1dxnxxbn1DDnxxsin2nxnxcos12nxnsin122nxncos10320322cos2sin2cos1nxnnxnxnxnx)11(204132nn.4noxy2,3820a,42nan.4nbn.sincos1434~)(122nnxnnxnxf,)(的图形如上图和函数xs,20,时当所以x.sincos1434)(122nnxnnxnxf则取,0x212221434nnoxy2,20时当x122sincos1434)(nnxnnxnxf?!收敛定理3214212nn,61212nn871513112222.248161412122222