5(3)定积分的换元法和分部积分法

1第三节定积分的计算定积分的换元法小结思考题作业定积分的分部积分法definiteintegralbypartsdefiniteintegralbysubstitution第五章定积分2上一节的牛—莱公式将定积分的计算的形式,而不定积分可用换元法和分部积分法求积,这样定积分的计算问题已经比较完满地解决了.归结为求不定积分,如果将换元法和分部积分法写成定积分常可使得计算更简单.3一、定积分的换元法definiteintegralbysubstitution例1计算220aaxdx220aaxdx=====sinxat2sin222attC222arcsin22axxaxCa0a24a2220cosatdt20还有别的方法吗?几何意义!定积分的换元法和分部积分法4定理1则有baxxfd)(定积分换元公式假设函数上或在]),[](,[)(tf)(tttd)(],,[)(baCxf函数满足条件:(1)(2)具有连续导数,且其值域],,[baR)(tx;)(,)(ba定积分的换元法和分部积分法5证],,[)(baCxf因为),(xFxxfbad)()(ddtFt是故)(tFtttfd)()]([)()(aFbF故有tttfxxfbad)()(d)(则由于tttfxxfbad)()(d)()(tF)()(ttf的)()(ttfN--L公式)()(aFbFN--L公式则)()(FF所以存在原函数原函数,)(t定积分的换元法和分部积分法6注()dbafxx与不定积分的换元法类似,有=====()xt()t连续11()()()()dbafttt(())Ft(1)换元一定要换限,上限对应上限,下限对应下限(不一定).(2)求出()()ftt的原函数后,不用将()xt代回,直接代入新的积分限即可.定积分的换元法和分部积分法7(3)换元公式也可反过来用.()()dbafxxx=====()tx1()xt满足定理条件()()()baftdt(4)作的变换一定要满足定理的条件:有连续的导数定积分的换元法和分部积分法8例2计算2224aaxadxx定积分的换元法和分部积分法9例3解203dsinxx203dsinxx202dsinsinxxxxxcosd)cos1(202xtcosttd)1(201331tt在用“凑”微分的方法时,,0x32xtcos1t,2x0t不明显地写出下限就不要变.定积分的上、2001新的变量t,注定积分的换元法和分部积分法10或203dsinxxxxxdsinsin202202cosd)cos1(xx203]cos31[cosxx32定积分的换元法和分部积分法注作换元时,一定要满足定理的条件:有连续导数例41211dxIx====1xt1211dtt从而0I?11几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子.换元积分例5由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换.通常还可以证明一些定积分等式,()[,],fxaa设在区间上连续则0(1)()d[()()]daaafxxfxfxx(2)当为偶函数时,()fx0()d2()daaafxxfxx(3)当为奇函数时,()fx()d0aafxx定积分的换元法和分部积分法12注意:上面的结论可用于简化对称区间上连续奇,偶函数的定积分.这是定积分计算的一种技巧.例6计算44cos1sin2xxdx例7计算21214xxdx定积分的换元法和分部积分法13证(1)tx2三角函数的定积分公式例8证明上连续在若,]1,0[)(xf2020;d)(cosd)(sin)1(xxfxxf00,d)(sin2d)(sin)2(xxfxxxf由此计算02.dcos1sinxxxx设02txdd20d)(sinxxfttfd2sin2020d)(costtf20d)(cosxxf证毕.化被积函数相同定积分的换元法和分部积分法14定积分的换元法和分部积分法txtxdd0d)(sinxxxf0d)(sin)(ttft设0d)(sinxxxf.d)(sin20xxf证由此计算02.dcos1sinxxxx00d)(sin2d)(sin)2(xxfxxxf0d)(sinttf0d)(sinttft0证明上连续在若,]1,0[)(xf0xxxttftd)][sin()(15另证:要证0(sin)d02xfxx2xt令化为对称区间上的奇函数的积分.定积分的换元法和分部积分法1602dcos1sinxxxx02dcos1sin2xxx02)(cosdcos112xx0)arctan(cos2x.42)44(2说明:尽管],,0[cos1sin2Cxxx但由于它没有初等原函数,故此积分无法直接用N--L公式求得.0d)(sinxxxf定积分的换元法和分部积分法0d)(sin2xxf17周期函数的定积分公式.d)(d)(,)(0为任何常数则的周期是连续函数如果axxfxxfxfTTaaT这个公式就是说：周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等.(留给同学证)定积分的换元法和分部积分法18推论设()fx是以T为周期的连续函数，则对任意的自然数n，有0()d()d.anTTafxxnfxxa为任何常数定积分的换元法和分部积分法例9求n0dxxx提示:xx是周期为1的函数,则n11000ddd2nxxxnxxxnxx19例10312d)2(,0,,0,1)(xxfxexxxfx求设解法一,2tx令tx2txdd定积分的换元法和分部积分法1331d)2(xxf11()ftdttetd10ttd)1(012e13720法二)2(xf即,2,,2,54)2(22xexxxxfx31d)2(xxf13e137,02x,)2(12x,02x,)2(xexxxd)54(2xexd222定积分的换元法和分部积分法312d)2(,0,,0,1)(xxfxexxxfx求设21例11计算10()fxttxdt定积分的换元法和分部积分法例12计算120ln11xdxx14200440044400040ln1tanln1tan1lncossinlncosln2lncoslncos4ln2ln248xdxxttdtxttdttdtdttdttdtutdt22定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法二、定积分的分部积分法设)(),(xvxu上在区间],[ba有连续的导数,则vuddefiniteintegralbyparts定理2uvuvd由不定积分的分部积分法abba][ab及N--L公式.bababauvuvvudd23例11计算10ln1xdx例12证明：若()01fx在，上连续，则1100(0)(1)1()1()22fffxdxxxfxdx定积分的换元法和分部积分法24例13解21,dsin)(xtttxf设.d)(10xxxf求10d)(xxxf2dx102)]([21xfx102)(d21xfx)1(21f102d)(21xxfx无法直接求出),(xf所以因为ttsin没有初等原函数,定积分的换元法和分部积分法分析被积函数中含有“积分上限的函数”,用分部积分法做.u10)(xf21选择积分上限的函数为.u21dsin)(xtttxf110)1(f22sin)(xxxfxx2sin2x225102dsin221xxx1022dsin21xx102cos21x).11(cos21)1(21f102d)(21xxfx定积分的换元法和分部积分法10d)(xxxf0)1(f)(xfxx2sin2注今后也可将原积分化为二重积分计算.26例14证明定积分公式证设,sin1xun,dsindxxvxnun2sin)1(d,cosxvxxxxInnndcosdsin02022020d)(cosd)(sinxxfxxfn为正偶数n为大于1的正奇数,22143231nnnn,3254231nnnn,dcosxxnI201]cossin[xxnJ.Wallis公式十七世纪的英国数学家JohnWallis给出.定积分的换元法和分部积分法xxxnndcossin)1(202227x2sin10)1(n21nnInnI积分关于下标的递推公式nI4223nnInnI直到下标减到0或1为止20dsinxxInnxxnndsin)1(202nI)1(nnI200dxI201dsinxxI因为,2,1定积分的换元法和分部积分法nI201]cossin[xxn2nn换成xxxnndcossin)1(2022xxnInndsin)1(20228所以,21nnInnI4231nInnnn02143231Innnn22143231nnnn21nnInnI4231nInnnn13254231Innnn13254231nnnn,12nnInnI4223nnInnI当n为正偶数时,当n为大于1的正奇数时,定积分的换元法和分部积分法29例15xxxxdsindcos201020102200dcosdsinxxxxInnnnnnnnnnnnn,3254231,22143231为正偶数为大于1的正奇数上公式在计算其它积分时可以直接引用.注定积分的换元法和分部积分法5476321658743212xxxxdcosdsin20720710930例16计算1211,nIxdxn为正整数.计算下列定积分。41(1)1dxIx10(2)1xdxIe21(3)1lnedxIxx2(4)sinxIexdx1(5)lndeeIxx0sin2(6)sinnxIdxx422(7)sin1xxeIxdxe定积分的换元法和分部积分法31定积分的分部积分公式bababauvuvvudd定积分的换元法和分部积分法三、小结定积分的换元公式xxfbad)(tttfd)()]([奇、偶函数在对称区间上的定积分性质三角函数的定积分公式周期函数的定积分公式32思考题1试检查下面运算是否正确?如不正确,1121dxxt