一次函数的最值问题

一次函数的最值问题期末复习之万州桥亭中学秦毅一次函数在自变量x允许取值范围（即全体实数）内，它是没有最大或最小值的。但是，如果给定了自变量的某一个取值范围（全体实数的一部分），那么y=kx+b的最大值或最小值就有可能存在。导言：一般地，有下面的结论：分类讨论（1）如果mxn，那么bkxy有最大值或最小值（如图1）：当0k时，bkmy最大，bkny最小；当0k时，bkny最大，bkmy最小。图1析例：请分析下列函数的最值情况：1、)31(52xxy2、)62(8.05.0xxy分析：1、)31(52xxy中，k=20,∴y随x增大而增大。则：要y最大，x取值最大。要y最小，x取最小。解：当x=1时，函数最小值为：7512y。当x=3时，函数最大值为：11532y。分析：2、)62(8.05.0xxy中，k=-0.5＜0,∴y随x增大而减小。则：要y最大，x取值最小。要y最小，x取最大。解：当x=6时，函数最小值为：8.38.065.0y。当x=2时，函数最大值为：8.18.025.0y。一般地，有下面的结论：分类讨论（2）如果nx，那么bkxy有最小值或最大值（如图2）：当0k时，bkny最小；当0k时，bkny最大。图2析例：请分析下列函数的最值情况：1、)3(52xxy2、)6(8.05.0xxy分析：1、)3(52xxy中，k=20,∴y随x增大而增大。则：要y最大，x取值最大。要y最小，x取最小。而题中x只能取最小值，函数只有最小值。解：当x=3时，函数最小值为：11532y。分析：2、)6(8.05.0xxy中，k=-0.5＜0,∴y随x增大而减小。则：要y最大，x取值最小。要y最小，x取最大。而题中x只能取最小值，函数只有最大值。解：当x=6时，函数最大值为：8.38.065.0y。一般地，有下面的结论：分类讨论（3）如果mx，那么bkxy有最大值或最小值（如图3）当0k时，bkmy最大；当0k，bkmy最小。图3析例：请分析下列函数的最值情况：1、)3(52xxy2、)6(8.05.0xxy分析：1、)3(52xxy中，k=20,∴y随x增大而增大。则：要y最大，x取值最大。要y最小，x取最小。而题中x只能取最大值，函数只有最大值。解：当x=3时，函数最大值为：11532y。分析：2、)6(8.05.0xxy中，k=-0.5＜0,∴y随x增大而减小。则：要y最大，x取值最小。要y最小，x取最大。而题中x只能取最大值，函数只有最小值。解：当x=6时，函数最小值为：8.38.065.0y。一般地，有下面的结论：分类讨论（4）如果mxn，x取值不定，那么bkxy既没有最大值也没有最小值。但是，如果x取特殊值（如x取整数值），可参照前述三条求最值。应用凡是用一次函数式来表达实际问题（自变量有取值范围），求其最值时，都需要用到边界（极限值）特性，像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。1、某一次足球联赛，规定每名参赛队员出场费500元／场，胜场和平场除积分外，参赛队员还可以获得相应的奖金。规定如下：胜一场积3分，奖金1500元／人；平一场积1分，奖金700元／人；负一场积0分，无奖金。大力队参加了全部12场比赛，共积19分，那么该队某名队员所得奖金与出场费的和最大是多少元？析例：分析：“求最大值“——与函数有关，应建立函数关系式。如何由实际问题得出函数关系式：1、审题，确定函数与自变量，并用合适的字母表示。2、找出与两个变量相关的等量关系式，列出二元一次方程（或其他方程。）3、写成函数的形式。（如：0,0,2acbxaxykxkybkxy）析例：设该队胜x场，平y场，则负（12-x-y）场。∴xyyx319,193。则胜：x场，平：）场（x319，负：场72x。3192707203190xxxx解得：且：∴不等式组的整数解为：6;5;4x设奖金与出场费的和为P，则125003197001500xxP。整理得：6;5;419300600xxP∵-600＜0，∴P随x增大而减小，要使P取值最大，需x取值最小。即：当169001930046004Px时，∴该队某名队员所得奖金与出场费的和最大是16900元。解：析例：2、某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A楼，B楼，C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40m，B楼与C楼之间的距离为60m，已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案：方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站距离之和。（1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？（3）在方案二的情况下，若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由。析例：分析：1、“距离总和最小”——与函数相关，建立函数关系式。（为了便于表述，设自变量x为“距A楼的距离”，函数y设为“距离总和最小”）2、”等于“——与等式相关，建立方程。（另：A、B、C三楼有间距，应为分段函数。且按方案分类讨论。）奶站之和奶站之和奶站之和等量关系为：BCASSS3、”在方案二的情况下，若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人）“——设增加人数为a（a≤22），可建立关于x与a的二元一次方程，即得x与a的函数关系式，从而可讨论最值问题。析例：解：（1）设取奶站建在距A楼xm处，所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。①当40x0时，8800x110)x100(60)x40(70x20y∴当x=40时，y的最小值为4400。②当100x40时，)x100(60)40x(70x20y3200x30，此时y的值大于4400。因此按方案一建奶站，取奶站应建在B楼处。解：（2）设取奶站建在距A楼xm处。①当40x0时，)x40(70)x100(60x20，解得03320x（舍去）。②当100x40时，)40x(70)x100(60x20解得x=80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A楼80m处。析例：析例：解：（3）设A楼取奶人数增加a（22a0）人，①当40x0时，)x40(70)x100(60x)a20(，解得30a3200x（舍去）。②当100x40时，)40x(70)x100(60x)a20(，解得a1108800x，当a增大时，x增大。∴当A楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站仍建在B、C两楼之间，且随着人数的增加，离B楼越来越远。小结：1、凡是用一次函数式来表达实际问题（自变量有取值范围），求其最值时，都需要用到边界（极限值）特性，像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。2、设元时，要用同一个“元”表示相关量。代表函数的”元“要另设。3、如何由实际问题得出函数关系式：1）、审题，确定函数与自变量，并用合适的字母表示。2）、找出与两个变量相关的等量关系式，列出二元一次方程（或其他方程。）3）、写成函数的形式。（如：0,0,2acbxaxykxkybkxy）