质点系动量守恒定律

理学院王瑞敏西安交通大学理学院王瑞敏复习vmP1.动量2.冲量tdtFI03.质点动量定理IPvddd)d(tFm21d12tttFmmvv)(d1221ttFtFttI平均冲力21d12ttxtFmmxxvv21d12ttytFmmyyvv21d12ttztFmmzzvv§4.2质点系动量定理P表示质点系在时刻t的动量iiimPvtfFmd)()d(12111vtfFmd)()d(21222vtFtFmmdd)d()d(212211vviiiitFmd)d(iv1m2m12f21f1F2F02112ff（质点系动量定理）一对内力以两个质点组成的系统为例：对任意质点系：西安交通大学理学院王瑞敏iiziiziiiyiiyiiixiixitFmtFmtFmd)d(d)d(d)d(vvv直角坐标系：在有限时间内：(1)只有外力可改变系统的总动量(2)内力可改变系统内单个质点的动量ittiiiiiiitFmm0d0vv说明某段时间内，质点系动量的增量，等于作用在质点系上所有外力在同一时间内的冲量的矢量和——质点系动量定理西安交通大学理学院王瑞敏一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块,已知两木块的质量分别为m1,m2，子弹穿过两木块的时间各为t1,t2，设子弹在木块中所受的阻力为恒力F01211vmmtF12222vvmmtF2111mmtFv222112mtFmmtFv子弹穿过第一木块时，两木块速度相同，均为v1子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2例解求子弹穿过后，两木块各以多大速度运动解得西安交通大学理学院王瑞敏§4.3质点系动量守恒定律当0iiF0diimv常矢量iimv动量守恒的分量表述(1)动量守恒定律适用于惯性系常量常量常量zizizyiyiyxixixPmFPmFPmFvvv000质点系动量守恒定律说明(2)动量守恒定律也适用于高速，微观领域如果作用在质点系上所有外力的矢量和为零，则该质点系的动量保持不变。这称为质点系动量守恒定律。西安交通大学理学院王瑞敏例：运煤车往下漏煤，时间内漏煤，求车速的变化。tm解：vv方向不受外力，动量守恒vv)(mmmvvmmmvv分析：不合理，因为研究系统发生了变化。（4）动量守恒是对一个确定系统而言的。（3）守恒条件ii0F当内力远大于外力时，如碰撞，爆炸，重力等外力可忽略。西安交通大学理学院王瑞敏如图所示，两部运水的卡车A、B在水平面上沿同一方向运动，B的速度为u，从B上以6kg/s的速率将水抽至A上，水从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻t时，A车的质量为M，速度为v。选A车M和t时间内抽至A车的水m为研究系统，水平方向上动量守恒vv)(mMmuMmMmuMvvmMumvvvv解vvuMmvvvuMMutmtat6ddlim0例求时刻t，A的瞬时加速度ABuvA西安交通大学理学院王瑞敏在恒星系中，两个质量分别为m1和m2的星球，原来为静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到相距为r时。1m2m1v2v解02211vvmmx0212121222211rmmGmmvv由动量守恒，机械能守恒rmmGm)(22121vrmmGm)(22112vrmmGmrmmGm)(2)(22112122112vvv例解得相对速率O求它们之间的相对速率为多少？西安交通大学理学院王瑞敏22212122vvvvv由机械能守恒（势能无变化）22212vvv021vv两球速度总互相垂直解：设碰撞后两球速度21,vv由动量守恒21vvv两边平方例：在平面两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于静止状态，另一球速度v。求证：碰撞后两球速度总互相垂直。西安交通大学理学院王瑞敏§4.4质心质心运动定理西安交通大学理学院王瑞敏N个质点系统（质点系）,定义质量中心一.质心质心nimmmm......,......,,21nirrrr......,......,,21cr定义：——分立系统的质心公式mdmrmmrrNiiiNc1lim对于质量连续分布的系统mrmmrmNiiiNiiNiii111•xyzOir1rCrmim2m1西安交通大学理学院王瑞敏例已知一半圆环半径为R，质量为M解建坐标系如图yxOmddddRldπdRRMmsincosRyRx0cxπ2dπsindπ0RMRRMRMmyyc取dldm=dl几何对称性(1)弯曲铁丝的质心并不在铁丝上(2)质心位置只决定于质点系的质量和质量分布情况，与其它因素无关说明求它的质心位置质心与重心的区别西安交通大学理学院王瑞敏二.质心运动定理质心的速度mmmtrmtriiiiccvvddddmPicmPv——质点系的总动量质心的加速度和动力学规律taccddvccamtmtPFddddv••质点系的质量与其质心加速度乘积等于作用在质点系上所有外力的矢量和。这称为质心运动定理。西安交通大学理学院王瑞敏讨论（1）质心的运动状态完全决定于质点系所受的外力，内力不能改变质心的运动。（2）合外力，则，=常数0F0cacv西安交通大学理学院王瑞敏iizciiyciiXcFMaFMaFMazyx分量形式：0ddtacxcxvMmMxmxxc21MmxMxmxc21MmmlSMmMlSls例如图所示，人与船构成质点系，当人从船头走到船尾解在水平方向上，外力为零，则开始时，系统质心位置终了时，系统质心位置)'()'(1122xxmxxMx2x1x'x1'x2O求人和船各移动的距离ccxx解得SSl西安交通大学理学院王瑞敏例炮弹射出后在最高点分成两块，已知m1=m2，且m1向下运动，m2水平运动，myxx1xcm2v2v1m1v0水平方向不受外力，质心走过的轨迹不变gxccossin20v因为m1向下运动，所以gxxc2cossin2201v西安交通大学理学院王瑞敏落地位置x1，x2。求解212211mmxmxmxc21mmgxxc2cossin323202v思考：让每块砖以最大限度伸出且保持平衡，问第三块砖应伸出多少？1234L西安交通大学理学院王瑞敏§4.5变质量动力学简介设质点在t时刻的质量为m，速度为v，由于外力F的作用和质量的并入，到t+dt时刻，质点质量变为m+dm，速度变为v+dv。在dt时间内，质量的增量为dm，如dm与m合并前的速度为u，根据动量定理有)d()d)(d(dummmmtFvvv略去二阶无穷小量mumtFd)(ddvvvvurmmtFrdddvvtmtmFrddddvv（密歇尔斯基方程）dm与m合并前相对于m的速度西安交通大学理学院王瑞敏西安交通大学理学院王瑞敏讨论tmtmFrddddvv变质量动力学方程与牛顿第二定律tmtmtmFddddd)(dvvv的区别？如果dm与m合并前的速度为u＝0分析：-vvvur上式代入变质量动力学方程，得tmtmFddddvv当不计空气阻力，只计重力，则tMtMMgrddddvvMMtrMMtg0ddd00vvvgtMMr0lnvv（火箭的速度方程）讨论(1)若不考虑重力MMr0lnvv(2)多级火箭问题11lnNrvv212lnNrvvv)ln(21...NNrvv变质量动力学的应用——火箭的运动方程t时刻，火箭质量为M，速度为vMtv火箭的质量比NMM0•西安交通大学理学院王瑞敏