质点系角动量

1质点(系)的角动量定理与角动量守恒定律2ipjp0,0p一质点的角动量定理和角动量守恒定律vmp质点运动0,0p3问题：将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系统总动量为多少？CM0CvMp总由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。*引入与动量对应的角量——角动量（动量矩）pL动量对参考点（或轴）求矩4v质点的角动量vmrprLvrLLrxyzom质量为的质点以速度在空间运动，某时对O的位矢为，质点对参考点O的角动量mrvsinvrmL大小的方向符合右手法则L角动量单位：kg·m2·s-15LpprLoLom，大小相同，则：、若为参考点：以为参考点：以作直线运动设00*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。oorrpmp*必须指明参考点，角动量才有实际意义。6刚体定轴转动定律角动量转动惯量角动量变化率力矩角动量定理角动量守恒定律空间旋转对称性大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；微观粒子的角动量具有量子化特征；角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。7iiiiiiiiivmrprLLipo1ririm2r1p2pipocririmirciciicivvvrrriiiiciiiiiiciciiiiiiciiiicvmrvmrvmrvvmrvmrvmrrL质点系角动量系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和有'：对质心无'：对参考点8由0MrmrMvmvmMiiiciiicii第一项：icciicvMrvmr即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上，该质点对参考点的角动量轨道L描述质点系整体绕参考点的旋转运动：第二项：0ccciiiciiivrMvrmvmr质心对自己的位矢9于是自旋轨道LLvmrvMrLiiiicc自旋L反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点的选择无关，描述系统的内禀性质：第三项：iiiivmr各质点相对于质心角动量的矢量和自旋L轨道LL轨道L自旋L10刚体定轴转动定律角动量转动惯量角动量变化率力矩角动量定理角动量守恒定律空间旋转对称性大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；微观粒子的角动量具有量子化特征；角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。11？，tLFtpddddptrtprprttLdddd)(ddddFrtprtLdddd0ddptrvv，质点角动量推导prL角动量的时间变化率力矩12FrM服从右手螺旋法则组成的平面和垂直于方向：大小：FrFrFdsin定义：力矩对参考点的力矩大小：FrtLddFdrFFrsin方向：服从右手螺旋法则rFodm13LrpmotLMdd作用于质点的合外力对参考点O的力矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率.质点的角动量定理14对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量．——质点的角动量定理tLMdd12d21LLtMtt冲量矩tMttd2115LM，0恒矢量质点的角动量守恒定律当质点所受对参考点Ｏ的合力矩为零时，质点对该参考点Ｏ的角动量为一恒矢量．——质点的角动量守恒定律tLMdd当16◆角动量守恒和开普勒第二定律rmvvmrL日dθrvdS常量mLtrtS2dd21dd2ctmrdd2开普勒第二定律：万有引力定律得出的依据之一（表明它是有心力！）。行星矢径的掠面速度=常量行星受引力运动，对引力中心的角动量：)d(21drrS掠面：17例1一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为m的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的点A(该点在通过环心O的水平面上)，然后从A点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略去不计．求小球滑到点B时对环心O的角动量和角速度．18解小球受力、作用,的力矩为零，重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理cosmgRMtLmgRddcostmgRLdcosdNFPNF19考虑到2,ddmRmRLtvθθgRmLLdcosd32得由题设条件积分上式0320dcosdgRmLLL21)sin2(Rg2mRL2123)sin2(gmRL得20例2一质量为m的登月飞船，在离月球表面高度h处绕月球作圆周运动．飞船采用如下登月方式：当飞船位于点A时，它向外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相切地到达点B,且OA与OB垂直．飞船所喷气体相对飞船的速度为试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量是多少?14sm1000.1um22解设飞船在点A的速度,月球质量mM,由万有引力和牛顿定律0v12120sm6121)(hRgRv0vAvBBvuvhORAhRmhRmmG202M)(v2MRmGg24RmhRmBvv)(01sm7091)(RhR0Bvv质量在A点和B点只受有心力作用,角动量守恒'm飞船在A点喷出气体后，在到达月球的过程中，机械能守恒RmmGhRmmGMM21212B2Avmvm25RmmGhRmmGMM21212B2AvmvmRmGhRmGMM222B2Avv即1sm6151Av于是121sm100)(202Avvv而vmum)(kg120ummv26质点系的角动量守恒定律质点系的角动量定理)(iiiiiFrMM外外0)(ijijiiiifrMM内内内外内外）（）（MMMMtLLttLiiiiiiiddddddtLMdd外（对同一定点）质点系的角动量定理内力矩不改变系统的总角动量（为什么？）总角动量iiLL27若0iiiexFrM)(，则cLii二.质点系角动量守恒定律注意：①是矢量和守恒例1猴子“抓”菠萝（等重）)(0，反向RTTrFriiiii对猴子＋菠萝，对轮心：!0iiF猴爬绳能缩短与菠萝的距离吗？二者获得相等相反的角动量；而动量相同！0)(iiFr与0iiF相互独立！②rT28例2轻质杆，端部固结一小球，另一小球以水平速度碰杆中部，碰撞时间极短，后粘合。已知：m1,m2v0l求ωv0m21mlo碰撞时重力和轴力都通过o，对o力矩为零,故L守恒2222102lmlllmvmllvmmm021242解：21)(mm含杆选存在水平轴力由结果验算！思考：对m1＋m2为什么不用水平动量守恒？29质点系动量与角动量对比：角动量iiiprL矢量与固定点有关与内力无关守恒条件0iiiFr动量iiivmp矢量与内力无关守恒条件0iiF与固定点无关本章结束思考：只有内力作用的质点系守恒情况如何？0iiF0iiiFrFF如：习题讨论质点运动&牛顿力学第1题.已知:两根竖直导轨上有一块木板,一个单摆悬挂在木板上的小钉上。现使单摆摆动起来,在小球未达其摆动最高点的某时刻移开支撑物,让木块自由下落(假设木板很重,木板与导轨间忽略摩擦,虽有小球摆动,仍认为木板以自由落体加速度下落)。问:小球相对于木板作什么运动?【解】对小球,实际受力为gm,T在木板参考系中列“牛”方程，还需加上惯性力gmF惯mgmgTvgamFgmT惯amgmgmTamT----向心力T----向心加速度a结论:小球相对木板作匀速率圆周运动！（小球相对地面的运动是匀速率圆周运动与自由落体运动的叠加）第2题.两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮的轻绳的一端如图，他们起初都不动，然后右边的小孩用力向上爬绳，另一个小孩仍抓住绳子不动。忽略滑轮的质量和轴的摩擦。问：哪一个小孩先到达滑轮？设滑轮半径为R，两小孩的质量分别为m1、m2，【解】把小孩看成质点，以滑轮中心为“固定点”，m1=m21m2m(爬)(不爬)对“m1+m2+轻绳+滑轮”系统：外力：条件：N,gm,gm210外M所以角动量守恒设两小孩分别以速度上升。21vv,设角动量以指向纸内为正。gm1gm2N0R1m1v1rR0r∥2v2m2rR0r∥111111111111vRmvrRmvrmPrL)(（指向纸内）111RvmL222112222222vRmvrRmvrmPrL)(（指向纸外）222RvmLgm1gm2N0R1m1v1rR0r∥2v2m2rR0r∥系统的角动量守恒：021LL02211RvmRvm2211vmvm2121vvmm爬与不爬，两小孩同时到达滑轮！有人说该系统机械能守恒，对不对？有人说该系统动量守恒，对不对？思考：（启动前）（启动后）若，此时系统的角动量也不守恒了，会出现什么情况？21mm讨论不对。不对。系统所受的合外力矩为（仍以朝向纸内为正）（1）设（右边爬绳的是较轻的小孩）21mm0)21gRmmM（外思考：的方向是什么？外M角动量定理tLMdd外Ld的方向朝向纸外（为负）初始时小孩未动，。0L现在02211RvmvmLLd2211vmvm1m2m(爬)(不爬)2121vvmm即质量为m2（轻的、爬的）小孩先到。（2）设m2m1（右边爬绳的小孩较重）2211vmvm1212vvmm即质量为m1（轻的、不爬的）小孩先到。2211vmvm总之，轻的小孩总是先到，爬绳的小孩不一定先到。同理可得，1m2m(爬)(不爬)