扭转(II)--水电、土木

2020年2月6日星期四武汉大学土建-工程力学1圆轴扭转时的变形扭矩变形能圆柱形密圈螺旋弹簧矩形截面杆扭转理论简介圆轴的内力扭矩MnMnmTmm1.几何关系xdd扭转剪应力2.物理关系xGGdd3.静力学关系AnAMdAxGAddd2pddGIMxn4.单位长度扭转角5.扭转剪应力pIMn2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学46.最大剪应力圆轴横截面上的应力pnIMτmaxWpMnmax当=maxMn涉及到的几何性质极惯性矩Ip抗扭截面系数WpmaxpIWpAIAd2P单位：m3.单位：m4.2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学6Ip和Wp公式DdD44p132DI43116DWpDd324pDI163DWp2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学7剪切胡克定律：剪应力互等定理=G当≤pyzxdxdydzτττγ2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学8圆轴扭转强度条件maxmaxpnWM[]=——jxn2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学9§4-4圆轴扭转变形刚度条件一、扭转变形1.单位长度扭转角rad/mddpGIMxn令rad/mddpGIMxnGIp——轴的抗扭刚度dxMnMnGIpd称为单位扭转角其中dxMnMnGIp微段变形=ddxMnGIpd=dxMnGIp2.相对扭转角d2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学11xGIMlnABdplMnABMnAB相对扭转角radp单位：GIlMnAB当扭矩Mn是常数，则：正负号：同扭矩Mn的正负号一致xGIMnddP2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学12niPiiiGIlMn1当扭矩为分段常数，则：2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学13二、刚度条件单位：度/米（°/m）值一般为：精密机器的轴(0.25～0.5)°/m一般传动轴(0.5～1.0)°/m较低精度的轴(1.0～2.5)°/m180ddmaxpmaxGIMxn2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学148007kN·m3kN·mCB800A例题已知:d1=100mmd2=60mm,[τ]=60MPa,=1º/m,G=80GPa求：校核强度、刚度解：1.内力分析Mn1=10kN·m,Mn2=3kN·m作扭矩图MPa9.5010100161010933111maxpWMn＜[τ]2.校核强度Mn（kN·m）1033.校核刚度MPa7.70106016103933222maxpWMn＞[τ]m124931p117.0180101001080321010180GIMn＜[θ]m124932p227.11801060108032103180GIMn＞[θ]结论：第一段满足强度和刚度要求，第二段则都不满足。2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学1640020012mBmAmCACB例题已知:mA=7024N·mmB=2809.6N·mmC=4214.4N·mG=80GPa,[τ]=70MPa,=1º/m求：AB和BC段直径解：1.内力分析Mn1=－mA=－7024N·mMn2=－mC=－4214.4N·m作扭矩图70244214.4Mn（N·m）2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学172.计算各段直径AB段：由扭转强度条件3111max16dMnWMnpmm80m08.010707024161636311Mnd得由刚度条件18032411dGMnmm6.8411080180702432180324294211GMnd得取d1=84.6mmBC段：同理，由强度条件，d2≥67mm由刚度条件，d2≥74.5mm取d2=74.5mm.2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学19ml1l2ABCGIp2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学20ml1l2ABCGIpmAmC﹙1﹚平衡方程mmmCA﹙2﹚变形协调条件0BCABACPCPnBCPPnABGIlmGIlMGIlmGIlM2221A11;又2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学21联立求解，得212211llmlmllmlmBC2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学22T是变量时P2221GIlTmWUxGIxTUld2P2mTφφmφpGITlGdV)dx(dzdy)(dW212122121ddddGVWVUu应变能密度acddxbdy´´dzzxy单元体微功：应变比能（应变能密度）：2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学241.应力的计算=+QTQTtTQWTAQmax近似值：3238124162dDPDddPdPDPQT2.弹簧丝的强度条件:83dDPKmax精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）33max8861504414dDPKdDPC.CC其中：dDCC.CCK61504414称为弹簧指数。称为曲度系数。3.位移的计算(能量法）为弹簧常数。64;64;3443nRGdKKPGdnPRUWPW21外力功：变形能：ALITGVUUpVVVd21d21d2ppGIPRRnLITG222122[例]圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直径为：d=18mm，受拉力P=500N的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若G=82GPa，欲使弹簧变形等于6mm，问：弹簧至少应有几圈？解：①最大剪应力的近似值：MPa329018050012508112521881233max...)(dDP)Dd(2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学28②最大剪应力的精确值：09161504414;631518125.C.CCK.dDCMPa233018050012508091833max....dDPK③弹簧圈数：6612505006410188266436434..PRGdn（圈）2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学29非圆截面杆的扭转一、非圆截面杆扭转变形特点截面翘曲warping！2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学30二、自由扭转和约束扭转1.自由扭转freetorsion当杆件两端各有一个扭转力偶，且端面可自由翘曲时，相邻两截面翘曲程度相同，这种情况下横截面上只有剪应力而无正应力。称这种扭转为自由扭转。2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学312.约束扭转constrainttorsion横截面翘曲受到某种限制。各横截面翘曲程度不同，各纵线变形不同，横截面内不仅有剪应力，还有正应力，它对薄壁截面杆影响很大。2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学32三、矩形截面杆自由扭转简介1、变形观察⑴所有横线都变成了曲线。2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学33⑶四条棱边处直角无改变⑵矩形变成了平行四边形，且在长边中点处直角改变最大。2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学34bh2、两对称轴及边缘上的应力分布τmaxBτ由实验研究和弹性力学理论分析而来τmax位于长边中点。τ——外边缘平行于边线；对称轴上与该轴垂直；角点、形心为零；其余各点较复杂。2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学35bhhbWWMn2kkmaxτmaxBτmaxB短边中点hbIGIMn3kk单位长度扭转角公式中，为系数。它们取决于边长比bh2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学36狭长矩形h/b＞10α=β≈1/32kkmax31hbWWMn3kk31hbIGIMn长边：近乎均匀分布短边：近乎线性分布hb2007年12月26日星期三武汉大学土建-工程力学37思考为什么矩形截面轴扭转时横截面四个角点处剪应力一定为零？