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5三角形内角和定理内角三兄弟之争在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷.同学们，你们知道其中的道理吗？1.知识目标（1）三角形的内角和定理的证明.（2）掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题.(3)理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用.2.教学重点（1）三角形内角和定理的证明.（2）三角形内角和定理的推论.3.教学难点（1）三角形内角和定理的证明方法.(2)三角形的外角、三角形内角和定理的推论.我们知道三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗?112ABD23C(1)如图,当时我们是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不实际移动∠A和∠B,那么你还有其它方法可以达到同样的效果吗?(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.已知:如图,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),∠2=∠B(两直线平行,同位角相等).又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.ABCE213D在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?请你帮小明把想法化为实际行动.小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?证明:过点A作PQ∥BC,则ABC∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),∠2=∠C(两直线平行,内错角相等),又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定义),∴∠BAC+∠B+∠C=1800(等量代换).PQ三角形内角和定理三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.∠A+∠B+∠C=180°的几种变形:∠A=180°–(∠B+∠C).∠B=180°–(∠A+∠C).∠C=180°–(∠A+∠B).∠A+∠B=180°–∠C.∠B+∠C=180°–∠A.∠A+∠C=180°–∠B.这里的结论,以后可以直接运用.ABC观察下面一组图形中∠1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？BCA1DACB1DACB1D外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.三个特征:1.∠1的顶点在三角形的一个顶点上;2.∠1的一条边是三角形的一条边;3.∠1的另一条边是三角形的某条边的延长线.···想一想:1、每一个三角形有几个外角？2、三角形的每一个外角与三角形的三个内角有什么位置关系?画一个三角形，再画出它所有的外角.ABDEFCABDEFC987654321BCA外角外角探究:你能用推理的方法来论证∠ACD=∠B+∠A吗？你能用几种方法呢？相信你一定能行！ＡＢＣＤ∵∠ACD+∠ACB=180°又∵∠A+∠B+∠ACB=180°∴∠A+∠B=∠ACD解：∴∠ACD=180°－∠ACB∴∠A+∠B=180°－∠ACB（邻补角的定义）（三角形内角和180°）方法一:ＡＢＣD1（作CE//BA）由平行线的性质把两个内角转换可得AE方法二：擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，你知道他是怎么解释的吗？哪位同学证明一下.CBD三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和2三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.∵∠ACD=∠A+∠B∴∠ACD﹥∠A∠ACD﹥∠B结论：3.三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角有怎样的大小关系?ABCD三角形外角：定理三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.∠B+∠C=∠CAD定理三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.∠CAD∠B，∠CAD∠CABCD证明：∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)∠B=∠C(已知)∴∠B=∠EAC(等式性质)ACDBE··例1已知:如图在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证：AD∥BC.21∵AD平分∠EAC(已知)∴∠DAE=∠EAC(角平分线的定义)21∴∠DAE=∠B(等量代换)∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行)这里是运用了公理“同位角相等，两直线平行”得到了证实.例2已知：如图,在△ABC中,∠1是它的一个外角,E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.求证:∠1∠2.证明：∵∠1是△ABC的一个外角(已知)∴∠1∠3(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∵∠3是△CDE的一个外角(外角定义)∴∠3∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∴∠1∠2(不等式的性质)CABF1345ED2跟踪练习1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定C2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于()A.120°B.115°C.110°D.105°FEDCBAB3.如图，把△ACB沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，∠DAE与∠1,∠2之间有一种数量关系保持不变，这一规律是（）A.∠A=∠1+∠2B.2∠A=∠1+∠2C.3∠A=2∠1+∠2D.3∠A=2（∠1+∠2）BDAACE12B4.如图所示,∠1=_______.140°80°1120°5.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.30或75°6.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.DCBA120°7.已知：如图，在△ABC中，外角∠DCA=100°,∠A=45°.求：∠B和∠ACB的大小.ABCD解:∵∠DCA是△ABC的一个外角(已知),∴∠B=∠DCA-∠A=100°-45°=55°又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角=180°).∴∠ACB=80°(等式的性质).100°45°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).已知:国旗上的正五角星形如图所示.求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的意义),分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解.∴∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).∴∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理).又∵∠2是△EHC的一个外角(外角的意义),ABCDEF1H2∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°(等式性质).拔尖自助餐当堂检测１△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是（）A.锐角△B..直角△C.钝角△D.等腰△２一个三角形至少有（）A.一个锐角B.两个锐角C.一个钝角D.一个直角BB３.在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,求∠C的度数.解：在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°∴∠B+∠C=100°∵∠B=∠C∴∠B=∠C=50°ABC４.已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数.解：设三个内角度数分别为：x,3x,5x.列出方程x+3x+5x=180°x=20°答：三个内角度数分别为20°,60°,100°.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.小结