高中数学必修二2.3.1-2直线和平面所成的角

第二课时直线和平面所成的角2.3.1直线与平面垂直的判定问题提出1.直线和平面垂直的定义和判定定理分别是什么？定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.2.当直线与平面相交时，对于直线与平面垂直的情形，我们已作了一些相关研究，对于直线与平面不垂直的情形，我们需要从理论上作些分析.αQP一、点的射影斜线：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。斜足：斜线和平面的交点叫做斜足.斜线段：斜线上任一点与斜足间的线段叫斜线段。αlP斜线斜足二、斜线，斜线段，斜线在平面的射影斜线在平面的射影：过斜线l上除斜足外一点向平面引垂线，连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影αlPAB注意:①平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而斜线段有无数条。②斜线上任一点在平面α内射影一定在斜线的射影上。思考1:过一点作一个平面的斜线有多少条？思考2:斜线l在平面α内的射影有几条？思考3:两条平行直线、相交直线、异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？如图，过平面α外一点P引平面α的两条斜线段PA、PB，斜足为A、B，再过点P引平面α的垂线，垂足为O，如果PAPB，那么OA与OB的大小关系如何？反之成立吗？PAPBOAOBαOPAB三、射影定理定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.αPAB四、直线和平面所成的角特别：当一条直线与平面垂直时，规定它们所成的角为90°；当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为0°所以直线与平面所成的角的范围是：[0,90]斜线与平面所成的角(0°,90°)例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.D1ABA1CB1C1DO小结（作-证-算）1、作：作出斜线与射影所成的角。2、证：证明所作的角为线面角。3、算：通过由斜线段，垂线段，射影所构成的Rt⊿，计算出线面角。在很多规则的几何计算问题中，用几何法求角，求距离等需要添加的辅助线较多且有时不容易想到，而用向量法解决这些问题相对更容易五、补充：用向量法求角A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)AB(x2-x1,y2-y1,z2-z1)111222(,,),(,,)axyzbxyz||||cos,abababcos,||||ababab121212222222111222xxyyzzxyzxyz公式复习βabABCD设异面直线a、b的夹角为θcosθ=AB,CDcos||=AB·CD·AB||CD||θ=AB,CD或θ=π－AB,CD利用两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。1求直线和直线所成的角例2:正方体ABCD-A1B1C1D1,(1)求A1B和B1C的夹角(2)求证:A1B⊥AC1.DCABxyzA1B1D1C1OABA1B1DCD1C1xyzOM练习:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是AB的中点,求DB1与CM所成角的余弦值.2、求直线和平面所成的角βCBθn设直线BA与平面β的夹角为θ，n为平面β的法向量,Ag1n与向量BA的夹角为锐角g1当12gθ=βCBAθng2n与向量BA的夹角为钝角g2当22gθ=如果一个向量垂直于一个平面内的所有向量，则该向量为此平面的法向量例1（用向量法求解）在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.D1ABA1CB1C1DO作业:P67练习：2.3P74习题2.3A组：9.