高中数学必修二第二章复习

一、平面的特点：（1）“平”；（2）“无限延展”；（3）“无厚薄”；（4）“无大小”；（5）“无宽窄”二：平面的表示平面记作：平面ABCD平面AC或平面BDABDC1、点与直线的位置关系（1）点A在直线l上：（2）点A在直线l外：lAlA记作：2、点与平面的位置关系点A在平面内：记作．A点B在平面外：记作．B三、空间中几种位置关系按平面基本性质分同在一个平面内相交直线平行直线不同在任何一个平面内:异面直线有一个公共点:按公共点个数分相交直线无公共点平行直线异面直线3、空间中直线与直线之间的位置关系a内在平面直线aaa相交与平面直线αa直线a与平面α平行Aαa//αaαaA4、直线与平面的位置关系有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.5、两个平面的位置关系两平面平行没有公共点有一条公共直线两平面相交α∥βα∩β=a位置关系公共点符号表示图形表示公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。作用:判定直线是否在平面内．公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：确定平面的主要依据．推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．作用:(1)判断两个平面相交的依据;(2)判断点在直线上。1.如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论。答:有可能1条，也有可能3条交线。（1）（2）2、3个平面把空间分成几部分？（2）（1）（3）（4）（5）46678两直线异面的判别二:两条直线不同在任何一个平面内.两直线异面的判别一:两条直线既不相交、又不平行.定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。1.异面直线:证明异面直线时常用反证法。2.判断直线与平面平行的方法：（1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行；（2）判定定理：（线线平行线面平行）；////abaabab////ababa3.直线与平面平行的性质定理：abαβ线面平行线线平行4.判断平面与平面平行的方法：（1）定义法：平面与平面没有公共点则面面平行；（2）判定定理：线线平行线面平行面面平行////,//,baPbabaabP关键是找平行线法一:三角形的中位线定理；法二:平行四边形的平行关系。⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行.⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交.⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等。5.平面与平面平行的性质：aab//,//aaa//,,//abab//,aAaB6.直线与平面垂直的方法：（1）定义法：直线l与平面内的任意一条直线都垂直。（2）判定定理：线线垂直线面垂直alblabAbalbalA1.//,abab(3)例7.直线与平面垂直的性质：//aabbabαβ8.判断平面与平面垂直的方法：（1）定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角。（2）判定定理：线线垂直线面垂直面面垂直aa面βαaA8.平面与平面垂直的性质定理：laala面面垂直线面垂直βαAl1.,,//aaa例a小结：线线平行线面平行面面平行线面平行判定线面平行性质面面平行判定面面平行性质空间中的平行关系的转化面面平行性质线线垂直线面垂直面面垂直空间中的垂直关系的转化平行和垂直关系的转化空间中的平行空间中的垂直1.异面直线所成角：范围求异面直线所成的角的步骤是:一作(找)：作（或找）平行线；二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角；三求：在一恰当的三角形中求出角。2.直线与平面所成角：范围[0，90]ＡＰ(0，90]Ｏ注：已知角，要求角，关键找射影。3.二面角：范围[0，180]OBA∠AOB即为二面角α-l-β的平面角。lαβ八、补充：公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．等角定理：等角定理的推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。例1：在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求异面直线A1B与B1C所成的角的大小;(2)求直线A1B与平面BB1D1D所成的角;(4)求证:平面A1BD//平面CB1D1;(7)求点A1到平面CB1D1的距离.1(5):AC1求证直线平面ABD;1(6):ABC1求证平面平面ABD;(3)求二面角A—BD—A1的正切值;ABCDA1B1C1D1例2如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M