高中数学必修二：直线与圆、圆与圆的位置关系

第1页共27页高中数学必修二第四节:直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δ＜0Δ＝0Δ＞0几何观点d＞rd＝rd＜r2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心第2页共27页解析：选D将圆C的方程化为标准方程得C：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为|2－1＋1|2＝2＜2，所以直线l与圆相交．又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心．3．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：选B∵两圆心距离d＝2＋22＋12＝17，r1＋r2＝2＋3＝5，|r1－r2|＝1，∴|r1－r2|d＜r1＋r2，∴两圆相交．4．已知直线l：y＝k(x＋3)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝()A．0B.3C.33或0D.3或0解析：选D因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝|－1＋3k|1＋k2＝1，解得k＝0或k＝3，故选D.5．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r＝5，又圆心(1,2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝|3－2－6|32＋－12＝102，由|AB|22＝r2－d2，得|AB|2＝45－52＝10，即|AB|＝10.答案：10考点一直线与圆的位置关系基础送分型考点——自主练透直线与圆的位置关系通常用两种方式表述，一是代数方式，即用直线与圆公共点的个数说明位置关系；二是几何方式，即用圆心到直线的距离说明位置关系，在高考中也主要以这两种方式进行考查，题型多为选择题、填空题，难度较小，属于基础题.(一)直接考——判断直线与圆的位置关系1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定第3页共27页解析：选A法一：由mx－y＋1－m＝0，x2＋y－12＝5，消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋200，所以直线l与圆相交．法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝|m|m2＋115，故直线l与圆相交．法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．[题型技法]判断直线与圆的位置关系一般有两种方法(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．(2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系．[妙招]由于本题中的直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，故可先判断该点与圆的位置关系，如果点在圆内，则一定相交；否则再利用常规方法求解．(二)迁移考——已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围2．(2018·湖南湘中名校联考)已知m＞0，n＞0，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是________．解析：因为m＞0，n＞0，直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1，所以|m＋1＋n＋1－2|m＋12＋n＋12＝1，即|m＋n|＝m＋12＋n＋12.两边平方并整理得mn＝m＋n＋1.由基本不等式mn≤m＋n22可得m＋n＋1≤m＋n22，即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，解得m＋n≥2＋22.当且仅当m＝n时等号成立．答案：[2＋22，＋∞)[题型技法]已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围，就是利用d＝r，dr或第4页共27页dr建立关于参数的等式或不等式求解．(三)应用考——解决直线与圆公共点个数问题3．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C如图所示，因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．[题型技法]此类问题多借助数形结合，转化为点到直线的距离求解．[怎样快解·准解]1．如何正确选用方法(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较烦琐，则用代数法．[提醒]能用几何法，尽量不用代数法．(3)已知直线与圆相交求有关参数值时，根据弦心距、半弦长、半径的关系或者这三条线段形成的三角形的性质求解，而弦心距可利用点到直线的距离公式列式，进而求解即可．2．利用代数法判断直线与圆的位置关系时的注意点(1)代入消元过程中消x还是消y取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为x－ay＋1＝0，则应将其化为x＝ay－1，然后代入消x.(2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义．考点二圆的切线问题重点保分型考点——师生共研圆的切线问题是每年高考的重点，涉及直线与圆位置关系的判断、切线方程及切线长的求法、圆的方程等问题，多为选择题或填空题，有时也出现在解答题中，难度适中，属于中低档题．[典题领悟]第5页共27页已知点P(2＋1,2－2)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．解：由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P在圆C上．又kPC＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k＝－1kPC＝1.∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－2)＝x－(2＋1)，即x－y＋1－22＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝54，∴点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝|k－2＋1－3k|k2＋1＝r＝2，解得k＝34.∴切线方程为y－1＝34(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝3－12＋1－22＝5，∴过点M的圆C的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1.[解题师说]1．解题关键正确判断点与圆的位置关系是求切线方程的关键一步．若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．第6页共27页2．解题方法(1)求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1k，由点斜式可写出切线方程．(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程两方法几何法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出[注意]当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况．(如典题领悟(2))3．常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2；(4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.[冲关演练]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13解析：选A以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab第7页共27页＝0的距离d＝2abb2＋a2＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝1－b2a2＝63.2．(2018·湖南四地联考)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，过点(a，b)作圆的切线，则切线长的最小值是()A．2B．3C．4D．6解析：选C圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为点(－1,2)，半径为2.因为圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即b＝a－3，点(a，b)到圆心的距离d＝a＋12＋b－22＝a＋12＋a－3－22＝2a2－8a＋26＝2a－22＋18.所以当a＝2时，d取最小值18＝32，此时切线长最小，为322－22＝16＝4，所以选C.考点三弦长问题题点多变型考点——追根溯源圆的弦长问题在高考中经常出现，既有选择题、填空题，也有解答题，属于中档题.常见的命题角度有：1已知直线与圆的方程求圆的弦长；2已知圆的弦长求直线和圆的方程中的参数.[题点全练]角度(一)已知直线与圆的方程求圆的弦长1．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为()A.12B．1C.22D.2解析：选D因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝|c|a2＋b2＝|c|2|c|＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－222＝22，所以弦长为2.第8页共27页[题型技法]解决圆的弦长问题的2种方法几何法如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2r2－d2代数法若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝1＋k2·xA＋xB2－4xAxB＝1＋1k2·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|角度(二)已知圆的弦长求直线和圆的方程中的参数2．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所