高中数学必修二：直线的倾斜角与斜率、直线的方程

第1页共21页高中数学必修二第一节:直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为αα≠π2，则斜率k＝tan_α.(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.()(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√第2页共21页2．若直线x＝2的倾斜角为α，则α为()A．0B.π4C.π2D．不存在答案：C3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1B．4C．1或3D．1或4解析：选A由k＝4－mm＋2＝1，得m＝1.4．(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．解析：由已知，得BC的中点坐标为32，－12，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝－113，故BC边上的中线所在直线方程为y＋12＝－113x－32，即x＋13y＋5＝0.答案：x＋13y＋5＝05．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.解析：令x＝0，得y＝k4；令y＝0，得x＝－k3，则有k4－k3＝2，所以k＝－24.答案：－24考点一直线的倾斜角与斜率基础送分型考点——自主练透[考什么·怎么考]直线的倾斜角与斜率是解析几何的基础知识，高考中极少单独考查.1．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，π)B.0，π4∪3π4，πC.0，π4D.0，π4∪π2，π解析：选B因为直线xsinα＋y＋2＝0的斜率k＝－sinα，又－1≤sinα≤1，所以－1≤k≤1.设直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tanθ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是0，π4∪3π4，π.第3页共21页2．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．解析：因为kAC＝5－36－4＝1，kAB＝a－35－4＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案：43．已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．解析：如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，当m≠0时，kQA＝32，kPA＝－2，kl＝－1m.结合图象知，若直线l与PQ有交点，应满足－1m≤－2或－1m≥32.解得0m≤12或－23≤m0；当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点．∴实数m的取值范围为－23，12.答案：－23，12[怎样快解·准解]1．掌握直线倾斜角与斜率问题的3种类型(1)在已知斜率表达式的情况下，研究倾斜角的范围，应首先求出斜率的取值范围，然后借助正切函数的图象求解．(如第1题)(2)解决三点共线问题，若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．(如第2题)(3)在解决与含参数的直线有关的直线相交问题时，首先要考虑该直线是否过定点．(如第3题，发现直线过定点(0，－1)是解决问题的关键一步)2．避免2类失误(1)考虑直线的斜率不存在的情况．(如第2题)(2)由直线的斜率k求倾斜角α的范围时，要对应正切函数的图象来确定，要注意图象的不连续性．(如第1题)3．记牢倾斜角α与斜率k的关系当α∈0，π2且由0增大到π2α≠π2时，k的值由0增大到＋∞.当α∈π2，π时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2α≠π2增大到π(α≠π)第4页共21页时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．考点二直线的方程重点保分型考点——师生共研直线的方程也是解析几何的基础知识，很少单独命题，常与圆锥曲线相结合出现在题的已知条件中，主要考查直线方程的求法.[典题领悟]1．求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的13的直线方程．解：设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×13＝－43.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－43(x－1)，即4x＋3y－13＝0.2．已知点A(3,4)，求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)设直线在x轴，y轴上的截距均为a.①若a＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)．∴直线的方程为y＝43x，即4x－3y＝0.②若a≠0，设所求直线的方程为xa＋ya＝1，又点(3,4)在直线上，∴3a＋4a＝1，∴a＝7.∴直线的方程为x＋y－7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．故所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.[解题师说]1．求解直线方程的2种方法直接法根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程待定系数法①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；第5页共21页③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程2．谨防3种失误(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.(如典题领悟第2题(1))(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.[冲关演练]1．直线l过点(2,2)，且点(5,1)到直线l的距离为10，则直线l的方程是()A．3x＋y＋4＝0B．3x－y＋4＝0C．3x－y－4＝0D．x－3y－4＝0解析：选C由题设知，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，所以|5k－1＋2－2k|k2＋－12＝10，解得k＝3，所以直线l的方程为3x－y－4＝0.2．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE所在直线的方程．解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为y－13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0.(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x＝2－22＝0，y＝1＋32＝2.BC边的中线AD经过A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线的方程为x－3＋y2＝1，即2x－3y＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－12，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知，点D的坐标为(0,2)．第6页共21页由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.考点三直线方程的综合应用重点保分型考点——师生共研虽然很少单独考查直线方程，但是，直线方程与函数、导数、不等式、圆相结合的问题，经常出现在选择题或填空题中．[典题领悟]过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，❶O为坐标原点．(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程.❷(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.❸[思维路径]①由于A，B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，因此可考虑设截距式方程xa＋yb＝1，且a＞0，b＞0，可得4a＋1b＝1；②S△AOB最小，即12ab最小，考虑到4a＋1b＝1，可采用“1”的代换及基本不等式求解；③|OA|＋|OB|最小，即a＋b最小，思路同第(1)问．解：设直线l：xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以4a＋1b＝1.(1)4a＋1b＝1≥24a·1b＝4ab，所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为x8＋y2＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因为4a＋1b＝1，a＞0，b＞0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)4a＋1b＝5＋ab＋4ba≥5＋2ab·4ba＝9，当且仅当a＝6，第7页共21页b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x6＋y3＝1，即x＋2y－6＝0.[解题师说]1．迁移要准(1)看到直线与两坐标轴的交点(不过坐标原点)，求直线方程时想到直线的截距式．(2)看到直线与两坐标轴相交且同时出现与坐标原点O有关的三角形面积或周长等问题时想到利用直线的截距式方程求解．2．方法要熟(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．3．易错要明直线在坐标轴上的截距可以是正值、负值、零，注意与距离的区别．[冲关演练]1．若直线ax＋by＝ab(a0，b0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A．1B．2C．4D．8解析：选C∵直线ax＋by＝ab(a0，b0)过点(1,1)，∴a＋b＝ab，即1a＋1b＝1，∴a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0，π4，则点P横坐标的取值范围为()第8页共21页A.－1，－12B.[]－1，0C．[0,1]D.12，1解析：选A由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0，π4，所以0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－12.3．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.解析：由已知画出简图，如图所示．因为l1：ax－2y＝2a－4，所以当x＝0时，y＝2－a，即直线l1与y轴交于点A(0,2－a)．因为l2：2x＋a2y＝2a2＋4，所以当y＝0时，x＝a2＋2，即直线l2与x轴交于点C(a2＋2,0)．易知l1与l2均过定点(2,2)，即两直线相交于点B(2,2)．则四边形AOCB的面积为S＝S△AOB＋S△BOC＝12(2－a)×2＋12(a2＋2)×2＝a－122＋154≥154.所以Smin＝154，此时a＝12.答案：12(一