2018年浙江省中考数学《第5讲：二次根式及其运算》总复习讲解

第5讲二次根式及其运算1．二次根式的有关概念考试内容考试要求二次根式一般地，形如a()的式子叫做二次根式．a最简二次根式必须同时满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)．2.二次根式的性质考试内容考试要求两个重要的性质(a)2＝a(a____________________)；a2＝|a|＝错误!a积的算术平方根ab＝a·b(a≥0，b≥0)．商的算术平方根ab＝ab(a≥0，b0)．3.二次根式的运算考试内容考试要求二次根式的加减先将各根式化为，然后合并被开方数的二次根式．b二次根式的乘法a·b＝(a≥0，b≥0)．二次根式的除法ab＝(a≥0，b＞0)．二次根式的混合运算与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号)．考试内容考试要求基本方法1.整式运算法则也适用于二次根式的运算．c2.估算一个根号表示的无理数可用“逐步逼近”的方法，即首先找出与该数邻近的两个完全平方数，可估算出该无理数的整数部分，然后再取一位小数进一步估算即可．3.绝对值：|a|；偶次幂：a2n；非负数的算术平方根：a(a≥0)是常见的三种非负数形式．非负数具有以下两条重要性质：①非负数形式有最小值为零；②几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零．1．(2015·湖州)4的算术平方根是()A．±2B．2C．－2D.22．(2017·宁波)要使二次根式x－3有意义，则x的取值范围是()A．x≠3B．x＞3C．x≤3D．x≥33．(2016·杭州)下列各式变形中，正确的是()A．x2·x3＝x6B.x2＝|x|C.x2－1x÷x＝x－1D．x2－x＋1＝x－122＋144．(2017·宁波)实数－8的立方根是____________________．5．(2017·湖州)计算：2×(1－2)＋8.【问题】下列各式已给出计算结果：①8－2＝6；②（－3）2＝－3；③2×3＝6；④8÷2＝4(1)其中正确的是____________；(2)对于错误的结果，请给出正确答案；(3)通过以上的解答，联想二次根式有哪些性质、运算法则？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质和运算法则，以及注意的问题．类型一平方根、算术平方根、立方根例1(1)(2015·黄冈)9的平方根是()A．±3B．±13C．3D．－3(2)(2017·黄冈)16的算术平方根是________．(3)(2016·宁波)实数－27的立方根是________．【解后感悟】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；注意算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误；开立方和立方互为逆运算是解题的关键．1．(1)(2016·唐山模拟)下列式子中，计算正确的是()A．－3.6＝－0.6B.（－13）2＝－13C.36＝±6D．－9＝－3(2)如果一个正数的两个平方根为a＋1和2a－7，则这个数为____________________．类型二二次根式的有关概念与性质例2(1)式子2x＋1x－1有意义的x的取值范围是________；(2)(2017·邵阳模拟)将45化成最简二次根式是________．(3)计算：（1－2）2＝________.【解后感悟】(1)此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零列不等式组，转化为求不等式组的解集．(2)此题根据二次根式的性质化简，是解本题的关键．2．(1)(2017·荆州)下列根式是最简二次根式的是()A.13B.0.3C.3D.20(2)k、m、n为三个整数，若135＝k15，450＝15m，180＝6n，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确()A．k＜m＝nB．m＝n＜kC．m＜n＜kD．m＜k＜n(3)(2016·金华)能够说明“x2＝x不成立”的x的值是____________________(写出一个即可)．(4)若实数a、b满足||a＋2＋b－4＝0，则a2b＝____________________.(5)若整数x满足|x|≤3，则使7－x为整数的x的值是____________________(只需填一个)．类型三二次根式的运算与求值例3(1)(2017·滨州)下列计算：(1)(2)2＝2，(2)（－2）2＝2，(3)(－23)2＝12，(4)(2＋3)(2－3)＝－1，其中结果正确的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)计算：8－312＋2＝______；(3)化简：3(2－3)－24－|6－3|＝________.【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．3．(1)下列计算正确的是()A．43－33＝1B.2＋3＝5C．212＝2D．3＋22＝52(2)算式(6＋10×15)×3之值为()A．242B．125C．1213D．1824．(1)计算(10－3)2018·(10＋3)2017＝____________________；(2)(2016·聊城)计算：27·83÷12＝.类型四二次根式的大小比较例4已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋15，乙＝3＋17，丙＝1＋19，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确()A．丙＜乙＜甲B．乙＜甲＜丙C．甲＜乙＜丙D．甲＝乙＝丙【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．5．(1)(2015·河北)在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在()A．段①B．段②C．段③D．段④(2)(2015·杭州)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝()A．6B．7C．8D．9(3)(2017·白银)估计5－12与0.5的大小关系是：5－12____________________0.5.(填“＞”、“＝”、“＜”)类型五二次根式的综合型问题例5(1)已知实数x，y满足||x－4＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________．(2)在日常生活中，取款、上网都需要密码，有的人把自己的出生年月作为密码，有的人把生活中的重要数字或自己认为吉利的数字作为密码，这样很容易被知情人窃用．有一种用二次根式法产生的密码，如：对于二次根式121，计算的结果是11，取被开方数和计算结果，再在中间加一个数字0，于是就得到一个六个数字的密码“121011”．对于二次根式0.81，用上述方法产生的密码是________．【解后感悟】常见的非负数有三种形式：|a|，a，a2；若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．6．(1)矩形相邻两边长分别为2，8，则它的周长是____________________，面积是____________________．(2)观察分析下列数据，寻找规律：0，3，6，3，23，…，那么第10个数据应是____________________．(3)若y＝3x－6＋6－3x＋x3，则10x＋2y的平方根为____________________．7．已知x＝3＋1，y＝3－1，求下列各式的值：(1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2.【探索规律题】如图，以O(0，0)、A(2，0)为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是________．【方法与对策】根据O(0，0)，A(2，0)为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中点B为顶点作△P1BP2，再以P2和P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．本题由特殊到一般的规律解题是关键，这类题型是中考的热点．【二次根式的化简符号不明确】下列各式中，正确的是()A.（－3）2＝－3B．－32＝－3C.（±3）2＝±3D.32＝±3参考答案第5讲二次根式及其运算【考点概要】1．a≥02.≥0a－a3.最简二次根式相同abab乘除【考题体验】1．B2.D3.B4.－25.原式＝2－22＋22＝2.【知识引擎】【解析】(1)③；(2)①8－2＝2，②（－3）2＝3，④8÷2＝2；(3)主要从二次根式性质、运算法则方面去思考．【例题精析】例1(1)A；(2)4；(3)－3例2(1)根据题意得，2x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－12且x≠1.(2)35；(3)2－1.例3(1)D；(2)原式＝22－322＋2＝322，故答案为：322；(3)3(2－3)－24－|6－3|＝6－3－26－(3－6)＝－6.故答案为：－6.例4∵3＝91516＝4，∴8＜5＋15＜9，∴8＜甲＜9.∵4＝16＜17＜25＝5，∴7＜3＋17＜8，∴7＜乙＜8.∵4＝16＜19＜25＝5，∴5＜1＋19＜6，∴5＜丙＜6.∴丙＜乙＜甲．故选A.例5(1)由||x－4＋y－8＝0得，x－4＝0，y－8＝0，即x＝4，y＝8.若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形．若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20；即等腰三角形的周长是20.(2)0.81＝0.9，所以得到一个六个数字的密码081009.【变式拓展】1．(1)D(2)92.(1)C(2)D(3)－1(4)1(5)－23.(1)C(2)D4.(1)10－3(2)125．(1)C(2)D(3)＞6.(1)624(2)33(3)±67.(1)因为x＝3＋1，y＝3－1，所以x＋y＝23，x－y＝2.则(1)x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2＝(23)2＝12.(2)x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝43.【热点题型】【分析与解】每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的12，第六个正三角形的边长是116，故顶点P6的横坐标是6332，P5纵坐标是3－34－38＝538，P6的纵坐标为538＋332＝21332，故答案为：(6332，21332)．【错误警示】（－3）2＝9＝32＝3，选项A错误；（±3）2＝9＝32＝3，选项C错误；32＝3，选项D错误．故选B.