2018年浙江省中考数学《第7讲：二元一次方程组及其应用》总复习讲解

第7讲二元一次方程组及其应用二元一次方程组及解法考试内容考试要求二元一次方程的概念含有未知数，并且未知项的次数是的整式方程叫做二元一次方程．ab二元一次方程组的概念一般地，含有的未知数的二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．二元一次方程组的解二元一次方程组的两个方程的，叫做二元一次方程组的解．二元一次方程组的解法解二元一次方程组的方法步骤：二元一次方程组――→消元转化____________________方程．消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有消元法和消元法两种．c考试内容考试要求基本思想化归与转化思想：解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即化“二元”为“一元”，这种方法体现了数学研究中的化归思想，具体地说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，本部分的二元一次方程组问题一般通过“消元”转化为一元一次方程问题解决．c基本两个方法：①代入消元法；②加减消元法．若方程组其中一个方程b方法中的未知数系数为1或－1，则直接采用代入消元法求解；若相同未知数的系数相等或互为相反数时，则直接采用加减消元法求解．c1．(2017·舟山)若二元一次方程组x＋y＝3，3x－5y＝4的解为x＝a，y＝b，则a－b＝()A．1B．3C．－14D.742．(2016·温州)已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是()A.x＋y＝7x＝2yB.x＋y＝7y＝2xC.x＋2y＝7x＝2yD.2x＋y＝7y＝2x3．(2016·金华)解方程组x＋2y＝5，x＋y＝2.【问题】对于二元一次方程2x＋y＝10.(1)求其正整数解；(2)若x＋y＝7，求x，y的值；(3)对于(1)、(2)中的x，y值的求法，你有何体会？.【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二元一次方程整数解类问题；会选择并运用代入、加减消元法解二元一次方程组．类型一二元一次方程(组)的有关概念例1(1)(2016·永康模拟)已知x＝1，y＝2是关于x，y的二元一次方程x－ay＝3的一个解，则a的值为()A．1B．－1C．2D．－2(2)(2017·南宁)已知x＝a，y＝b是方程组x－2y＝0，2x＋y＝5的解，则3a－b＝________；(3)已知关于x，y的方程组mx＋ny＝7，2mx－3ny＝4的解为x＝1，y＝2，则m＝________，n＝________.【解后感悟】(1)解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a为未知数的方程；(2)解题的关键是观察两方程的系数，从而求出3a－b的值；(3)通过二元一次方程组的解的概念，转化为解m，n的二元一次方程组，并且会用代入消元法或加减消元法解方程组．注意“消元法”的运用．1．(1)(2016·毕节)已知关于x，y的方程x2m－n－2＋4ym＋n＋1＝6是二元一次方程，则m，n的值为()A．m＝1，n＝－1B．m＝－1，n＝1C．m＝13，n＝－43D．m＝－13，n＝43(2)已知x、y是二元一次方程组x－2y＝3，2x＋4y＝5的解，则代数式x2－4y2的值为____________________．类型二二元一次方程(组)的解法例2解方程(组)：(1)方程x＋3y＝9的正整数解是________；(2)(2015·成都)x＋2y＝5，3x－2y＝－1，(2)2（x－y）3－x＋y4＝－112，3（x＋y）－2（2x－y）＝3.【解后感悟】二元一次方程的解法，把一个未知数的代数式表示另一个末知数是解题的关键．对于二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．2．解方程组：(1)(2015·聊城)x－y＝5，2x＋y＝4；(2)1－6x＝3y－x2＝x＋2y3.类型三二元一次方程组的综合问题例3已知方程组2x－3y＝3，ax＋by＝－1与3x＋2y＝11，2ax＋3by＝3的解相同，求a，b的值．【解后感悟】几个方程(组)同解，可选择两个含已知系数的组成二元一次方程组求得未知数的解，然后将方程组的解代入含待定系数的另外的方程(或方程组)，解方程(或方程组)即可．例4(2016·枣庄)Pn表示n边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么Pn与n的关系式是：Pn＝n（n－1）24·(n2－an＋b)(其中，a，b是常数，n≥4)(1)通过画图，可得四边形时，P4＝(填数字)；五边形时，P5＝(填数字)；(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a，b的值．【解后感悟】先通过数形结合和特殊数据来解决简单问题，再利用上述方法构建二元一次方程组模型解决一般性问题．3．已知方程组2x＋3y＝n，3x＋5y＝n＋2的解x，y的和为12，求n的值．4.当m取什么值时，方程x＋2y＝2，2x＋y＝7，mx－y＝0有公共解．类型四二元一次方程组的应用例5(2015·佛山)某景点的门票价格如下表：购票人数/人1－5051－100100以上每人门票价/元12108某校七年级(1)、(2)两班计划去游览该景点，其中(1)班人数少于50人，(2)班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．(1)两个班各有多少名学生？(2)团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？【解后感悟】本题是二元一次方程组解决实际问题的运用和分类思想的应用．解答时注意分两班人数和多于50人且少于100人和两班人数和多于100人两种情况讨论．5．八(1)班五位同学参加学校举办的数学竞赛，试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分．赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E同学只记得有7道题未答)，具体如下表：参赛同学答对题数答错题数未答题数A1901B1721C1523D1712E//7(1)根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分；(2)最后获知：A，B，C，D，E五位同学成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分．①求E同学的答对题数和答错题数；②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩平均分是80.75分，与(1)中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况．请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况(直接写出答案即可)．【实际应用题】1．(2017·自贡)我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组__________________．2．(2017·济宁)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48文，甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组是____________．【方法与对策】这是两道数学史的材料题，构建二元一次方程组来解决实际问题，关键是揭示数量关系．该题型是中考命题的一种形式．【二元一次方程的解，二元一次方程组的解理解不清】方程组3x－7y＝0，x－2y＋1＝0的解对方程2x－3y＝－5而言()A．是这个方程的唯一解B．是这个方程的一个解C．不是这个方程的解D．以上结论都不对参考答案第7讲二元一次方程组及其应用【考点概要】两个1相同两个公共解一元一次代入加减【考题体验】1．D2.A3.x＝－1，y＝3.【知识引擎】【解析】(1)x＝1，y＝8x＝2，y＝6x＝3，y＝4x＝4，y＝2(2)x＝3，y＝4(3)对于(1)只要把方程变形为用一个未知数的代数式来表示另一个未知数，然后利用正整数解这个条件来求；对于(2)是解方程组，其基本思想是“消元”，体现了数学的化归思想．消元的方法根据方程组的结构特点，选择代入消元法或加减消元法．【例题精析】例1(1)B；(2)5；(3)m＝5，n＝1.例2(1)解得：x＝－3y＋9，当y＝1时，x＝6；当y＝2时，x＝3；故正整数解是x＝6，y＝1，x＝3，y＝2；(2)两式相加得4x＝4，解得x＝1，将x＝1代入第一个式子，解得y＝2，所以方程组的解为x＝1，y＝2；(3)方程组可化为5x－11y＝－1①，－x＋5y＝3②，由②得，x＝5y－3③，③代入①得，5(5y－3)－11y＝－1，解得y＝1，把y＝1代入③得，x＝5－3＝2，所以，原方程组的解是x＝2，y＝1.例3由题意得2x－3y＝3，3x＋2y＝11，解之得x＝3，y＝1.把x＝3，y＝1代入ax＋by＝－1，2ax＋3by＝3，得3a＋b＝－1，6a＋3b＝3，整理得3a＋b＝－1，2a＋b＝1，解得a＝－2，b＝5.例4(1)由画图，可得当n＝4时，P4＝1；当n＝5时，P5＝5.(2)将上述数值代入公式，得4×（4－1）24·（16－4a＋b）＝1①5×（5－1）24·（25－5a＋b）＝5②解之，得a＝5，b＝6.例5(1)设七年级(1)班有x名学生，七年级(2)班有y名学生，若两班人数和多于50人且少于100人，有12x＋10y＝1118，10（x＋y）＝816，解得x＝151，y＝－69.4，不合题意，舍去．若两班人数和多于100人，有12x＋10y＝1118，8（x＋y）＝816，解得x＝49，y＝53.答：七年级(1)班有49名学生，七年级(2)班有53名学生．(2)∵49×(12－8)＝196，53×(10－8)＝106，∴团体购票与单独购票相比较，七年级(1)班节约了196元，七年级(2)班节约了106元．【变式拓展】1．(1)A(2)1522.(1)x＝3y＝－2(2)x＝17y＝173.解法一：解方程组2x＋3y＝n，①3x＋5y＝n＋2，②得x＝2n－6，y＝－n＋4.又∵x＋y＝12，∴(2n－6)＋(－n＋4)＝12，n＝14.解法二：已知方程组2x＋3y＝n，①3x＋5y＝n＋2，②②－①，得x＋2y＝2，∵x＋y＝12，∴x＝22，y＝－10，把x＝22，y＝－10代入①，得n＝2×22＋3×(－10)＝44－30＝14.4.m＝－14.5.(1)82.5分．(2)①设E同学答对x题，答错y题，由题意得5x－2y＝58，x＋y＝13，解得x＝12，y＝1.答：E同学答对12题，答错1题．②C同学，他实际答对14题，答错3题，未答3题．【热点题型】1．【分析与解】分别利用大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个分别得出等式，则可以列方程组：3x＋13y＝100，x＋y＝100.2．【分析与解】根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48文，可以列出方程组x＋12y＝48，23x＋y＝48.【错误警示】B.理由：由上述解法可知x＝－7，y＝－3是方程2x－3y＝－5的一个解．