2018年中考数学(河北专版)总复习热点题型 高分攻略课件：专题一 几何图形中的运动变化 (共80张

专题一几何图形中的运动变化考查内容命题形式真题链接考查频率与三角形、四边形有关的证明与探究以直线形图形为背景，以几何证明和计算题、探究题的形式呈现，常作为全卷的倒数第三、第四位置的中档题目，多侧重对思维和能力的考查，难度中等左右2014年23题11分2012年23题9分2011年23题9分2010年24题10分2009年24题10分2008年24题10分高频(6/10)与圆有关的证明与探究以圆为背景，以几何证明和计算题、探究题的形式呈现，常作为全卷的倒数第三、第四位置的中档题目，多侧重圆与直线形图形有关性质的综合考查，难度中等左右2017年23题9分；2013年24题11分2010年23题10分2009年23题10分高频(4/10)与圆有关的运动变化目录一与直线形有关的运动变化二(2017·河北·25，11分)平面内，如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝15，tanA＝.点P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.(1)当∠DPQ＝10°时，求∠APB的大小；(2)当tan∠ABP∶tanA＝3∶2时，求点Q与点B间的距离(结果保留根号)；(3)若点Q恰好落在平行四边形ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积(结果保留π)．典例1类型一直线形中的动态问题43【寻考法】本题以平行四边形为背景，在点的运动和线段旋转这两个运动状态进行的过程中，考查有关角度、线段长度和扇形面积的求解，重点考查了以三角函数为基础的几何计算问题，同时用到勾股定理、全等三角形、平行四边形等有关知识．在考查几何直观和数形结合的能力的基础上，尤其体现了分类讨论的数学思想的具体运用，特别是图形在运动过程中的各临界状态及其相互关系．本题设置新颖，有相当的难度，尤其在几何计算和推理上，更是在考生的薄弱环节处进行了有效考查．【探解法】对于第(1)问，通过点P在AD上运动的过程不难发现，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ后，点Q的位置可以有三种情况，即点Q在AD两侧及在AD上．当∠DPQ＝10°时，有点Q在AD两侧这两种位置情况，从而可以求出相应的∠APB的大小．同时，本小题也隐含提示了点Q在AD上的情况，为第(3)问做了铺垫．对于第(2)问，△PBQ是等腰直角三角形，因此只需求出PQ的长，由题中已知的三角函数的比值，需要转化到直角三角形中才能利用，因此需要过点P作PE⊥AB于点E，从而可以求出AE和BE的长度，进而再由勾股定理和三角函数求出PB的值．对于第(3)问，可以通过画图并借助几何的直观性，观察得出点Q恰好落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，共有三种位置情况，分别是点Q在直线AD，DC和BC上，分别画出图形，分三种情况进行讨论，从而求出扇形QPB的面积．【答案】解：(1)当点Q与B在PD的异侧时，由∠DPQ＝10°，∠BPQ＝90°，得∠BPD＝80°，∴∠APB＝180°－∠BPD＝100°.当点Q与B在PD的同侧时，∠APB＝180°－∠BPQ－∠DPQ＝80°，∴∠APB是80°或100°.(2)如图，连接BQ，作PE⊥AB于点E.∵tan∠ABP∶tanA＝3∶2，且tanA＝，∴tan∠ABP＝2，在Rt△APE中，tanA＝＝，设PE＝4k，则AE＝3k，在Rt△PBE中，tan∠ABP＝＝2，∴EB＝2k，∴AB＝5k＝10，∴k＝2，∴PE＝8，EB＝4，∴PB＝，∵△BPQ是等腰直角三角形，4343PEAEPEEB228445＝∴BQ＝PB＝4.(3)16π或20π或32π.【具体过程如下】①当点Q落在AD上时，如图,由tanA＝，得PB＝PQ＝8，∴PB旋转到PQ所扫过的面积＝＝16π.②当点Q落在CD上时，如图，过点P作PH⊥AB于点H，交CD的延长线于点K，由题意知∠K＝90°，∠KDP＝∠A.设AH＝x，则PH＝AH·tanA＝x，210432908360π43∵∠K＝∠BHP＝90°，∠BPH＝∠KQP＝90°－∠KPQ，PB＝QP，∴Rt△HPB≌Rt△KQP.∴KP＝HB＝10－x.AD＝15＝x＋(10－x)，解得x＝6，在Rt△PHB中，∵PB2＝PH2＋HB2＝80，∴PB＝，∴PB旋转到PQ所扫过的面积＝53224845＝54290π4520π.360＝③当点Q落在BC延长线上时，如图，过点B作BM⊥AD于点M，由①得BM＝8.又∵∠MPB＝∠PBQ＝45°，∴PB＝8，∴PB旋转到PQ所扫过的面积＝综上，扫过的面积是16π或20π或32π.2290π8232π.360＝(2017·无锡)如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t(s)．(1)若m＝6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．(2)已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．针对训练1－1解：(1)如图(1)，连接BP，∵PD＝t，∴PA＝6－t.∵P，B，E共线，且点D，E关于直线PC对称，∴∠BPC＝∠DPC，∵AD∥BC，∴∠DPC＝∠PCB，∴∠BPC＝∠PCB，∴BP＝BC＝6，在Rt△ABP中，∵AB2＋AP2＝PB2，∴42＋(6－t)2＝62，解得，t＝6－2或t＝6＋2(不合题意，舍去)，∴当t＝6－2时，B，E，P共线．555【答案】①如图(2)，当点P与A重合，点E在BC的下方时，点E到BC的距离为3.作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC的延长线于M，连接CE.则EQ＝3，CE＝DC＝4，易证四边形EMCQ是矩形，∴CM＝EQ＝3，2222437447.77EMECCMDACEDMADCMADDCADCDMEDMEMADAD＝－＝－＝，＝，＝，∽，＝，＝，＝②如图(3)，当点P与A重合，点E在BC的上方时，点E到BC的距离为3.作EQ⊥BC于Q，延长QE交DA的延长线于M，连接CE.则EQ＝3，CE＝DC＝4，在Rt△ECQ中，224377147474747.7QCDMDMECDADMEMADCDADADmm＝＝－＝，由△∽△，＝，＝，＝，综上，所求的的取值范围是：＜(2017·郴州)如图(1)，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE.(1)求证：△CDE是等边三角形；(2)如图(2)，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)如图(3)，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．针对训练1－2(1)证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形．(2)解：存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE，由(1)知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD＋4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2cm，∴△BDE的最小周长＝CD＋4＝(2＋4)cm.33【答案】(3)解：存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；②当0≤t＜6时，由旋转可得：∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由(1)可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEC＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4cm，∴OD＝OA－DA＝6－4＝2(cm)，∴t＝2÷1＝2(s)；③当6＜t＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由(1)知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝∠CDB＝30°，∴BD＝BC＝4cm，∴OD＝14cm，∴t＝14÷1＝14(s)，综上：当t＝2或14时，以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形．(2017·南京)折纸的思考．[操作体验]用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD(AB＞BC)(图①)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平(图②)．第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB,PC,得到△PBC.(1)证明△PBC是等边三角形．针对训练1－3[数学思考](2)如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．(3)已知矩形一边长为3cm，另一边长为acm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．[问题解决](4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为________cm.165(1)证明：由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，∴PB＝PC，PB＝CB，∴PB＝PC＝CB，∴△PBC是等边三角形．(2)解：本题答案不唯一．如图(1)，以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1BC1；再以点B为位似中心，将△P1BC1放大，使点C1的对应点C2落在CD上，得到△P2BC2.【答案】(3)解：本题答案不唯一，如图(2)．【解析】本题是几何变换的动态问题，综合性较强，难度较大．在折叠背景下，主要考查了轴对称的性质，以及等边三角形、旋转、直角三角形、矩形、正方形、相似三角形、位似等知识．对于(1)由折叠后轴对称的性质和垂直平分线的性质可得PB＝PC，PB＝CB，从而得到PB＝PC＝CB；(2)由旋转的性质和位似的性质即可得出答案；(3)由等边三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可；(4)如图(3)由△AEF∽△DCE，得，设AE＝xcm，则AD＝CD＝4xcm，DE＝AD－AE＝3xcm，则在Rt△CDE中由勾股定理列方程求解即可．14AEEFDCCE＝＝典例2类型二代数与几何综合问题(2012·河北·26，12分)如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC＝.探究：如图(1)，AH⊥BC于点H，则AH＝________，AC＝____________，△ABC的面积S△ABC＝________；拓展：如图(2)，点D在AC上(可与点A，C重合)，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD＝x，AE＝m，CF＝n.(当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0)(1)用含x，m，n的代数式表示S△ABD及S△CBD；(2)求(m＋n)与x的函数解析式，并求(m＋n)的最大值和最小值；513841215【寻考法】本题以一个一般三角形为背景，考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，反比例函数的性质等主要知识，综合性较强，难度较大，属于压轴题目．通过探究的题目形式，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，特别是本题重在将代数和几何知识结合考查，通过建立函数解析式来进一步研究相关的几何图形的性质，突出对数形结合思想的考查，对用代数方法解决几何问题能力的考查尤为明显．【探解法】对于“探究”，在Rt△ABH中，以解直角三角形的知识为主，由已知边长和三角函数，求出有关线段和三角形面积即可．对于“拓展”中的(1)问，由三角形