62无穷小与无穷大

00ln(1)1lim12limxxxxxex、、练习题一、无穷小二、无穷大§1.5无穷小与无穷大上页下页铃结束返回首页一、无穷小如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小无穷小的定义下页讨论很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？提示无穷小是这样的函数在xx0(或x)的过程中极限为零很小很小的数作为常数函数在自变量的任何变化过程中其极限就是这个常数本身一、无穷小例1下页因为01limxx所以函数x1为当x时的无穷小因为0)1(lim1xx所以函数为x1当x1时的无穷小因为011limnn所以数列{11n}为当n时的无穷小因为01limxx所以函数x1为当x时的无穷小因为0)1(lim1xx所以函数为x1当x1时的无穷小因为011limnn所以数列{11n}为当n时的无穷小如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小无穷小的定义在自变量的同一变化过程xx0(或x)中函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)Aa其中a是无穷小定理1(无穷小与函数极限的关系)例如因为333212121xxx而021lim3xx所以2121lim33xxx例如因为333212121xxx而021lim3xx例如因为333212121xxx而021lim3xx证明：说明:二、无穷大如果当xx0(或x)时对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大那么称函数f(x)为xx0(或x)时的无穷大记为当xx0(或x)时为无穷大的函数f(x)按函数极限定义来说极限是不存在的但为了便于叙述函数的这一性态我们也说“函数的极限是无穷大”无穷大的定义)(lim0xfxx(或)(limxfx)下页•讨论无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大?•提示)(lim0xfxxM0d0当0|xx0|d时有|f(x)|M下页二、无穷大如果当xx0(或x)时对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大那么称函数f(x)为xx0(或x)时的无穷大记为无穷大的定义)(lim0xfxx(或)(limxfx)•正无穷大与负无穷大)(lim)(0xfxxx)(lim)(0xfxxx下页二、无穷大如果当xx0(或x)时对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大那么称函数f(x)为xx0(或x)时的无穷大记为无穷大的定义)(lim0xfxx(或)(limxfx)铅直渐近线11xy1的铅直渐近线如果)(lim0xfxx则称直线0xx是函数yf(x)的图形下页例2例2证明11lim1xx证证因为M0M1d当0|x1|d时有Mx|11|所以11lim1xx铅直渐近线定理2(无穷大与无穷小之间的关系)结束在自变量的同一变化过程中如果f(x)为无穷大则)(1xf为无穷大则)(1xf为无穷小反之如果f(x)为无穷小且f(x)0证明•定理1有限个无穷小的和也是无穷小无穷小的性质举例:当x0时x与sinx都是无穷小所以xsinx也是当x0时的无穷小下页用极限运算法则222111lim.12nnnnk2knk22111nnk21kn22limlim0,1nnkknknkn22limlim0,111nnkknnn例、求解又因为由夹逼定理得222111lim0.12nnnnk与教材P55页是非T4比较，可得什么结论？•定理2有限个无穷小的乘积也是无穷小无穷小的性质用极限运算法则•定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小•推论1常数与无穷小的乘积是无穷小用夹逼性定理证明01limsinxxx例观察与比较两个无穷小比值的极限的各种不同情况反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度在x0的过程中x2比3x趋于零的速度快些反过来3x比x2趋于零的速度慢些而sinx与x趋于零的速度相仿03lim20xxx203limxxx1sinlim0xxx上页下页铃结束返回首页无穷小的比较无穷小的阶设a及b为同一个自变量的变化过程中的无穷小下页如果0limab就说b是比a高阶的无穷小记为bo(a)如果ablim就说b是比a低阶的无穷小如果0limcab就说b与a是同阶无穷小如果0limckabk0就说b是关于a的k阶无穷小如果1limab就说b与a是等价无穷小记为a~b阶是比较两个无穷小趋于零速度快慢的一个概念阶的比较举例所以当x0时3x2是比x高阶的无穷小即3x2o(x)(x0)所以当x3时x29与x3是同阶无穷小所以当n时n1是比21n低阶的无穷小因为211limnnn例2例3因为639lim23xxx例3例1因为03lim20xxx例1下页所以当x0时1cosx是关于x的二阶无穷小所以当x0时sinx与x是等价无穷小即sinx~x(x0)例4因为21cos1lim20xxx例4例5因为1sinlim0xxx例5下页阶的比较举例•定理1b与a是等价无穷小的充分必要条件为bao(a)下页关于等价无穷小的定理必要性:证明01lim)1lim(limababaab所以b–ao(a)因为设a~b只需证b–ao(a)01lim)1lim(limababaab01lim)1lim(limababaab充分性:设bao(a)则1])(1lim[)(limlimaaaaaaboo1])(1lim[)(limlimaaaaaaboo1])(1lim[)(limlimaaaaaaboo1])(1lim[)(limlimaaaaaaboo因此a~b所以当x0时有sinxxo(x)tanxxo(x)1cosx)(2122xox例6因为当x0时sinx~xtanx~x1cosx~221x例6下页•定理1b与a是等价无穷小的充分必要条件为bao(a)关于等价无穷小的定理下页•定理1b与a是等价无穷小的充分必要条件为bao(a)关于等价无穷小的定理设a~ab~b且ablim存在则abablimlim•定理2aaabbbablimlimabaaabbblimlimlimlim证明aaabbbablimlimabaaabbblimlimlimlim求两个无穷小比值的极限时分子及分母都可用等价无穷小来代替因此如果用来代替的无穷小选取得适当则可使计算简化定理2的意义:下页•定理1b与a是等价无穷小的充分必要条件为bao(a)关于等价无穷小的定理设a~ab~b且ablim存在则abablimlim•定理2解当x0时tan2x~2xsin5x~5x所以解当x0时sinx~x若a~ab~b且ablim存在则abablimlim例7例求xxx5sin2tanlim0xxx5sin2tanlim05252lim0xxx例8例求xxxx3sinlim30xxx5sin2tanlim05252lim0xxxxxx5sin2tanlim05252lim0xxx结束3131lim3lim3sinlim202030xxxxxxxxx3131lim3lim3sinlim202030xxxxxxxxx3131lim3lim3sinlim202030xxxxxxxxx30lim3xxxx特别注意的是：分式中的分子或分母为代数和形式时，不能用无穷小代换。333000tansin0limlimlim0sinsinsinxxxxxxxxxx例9、无穷大的阶作业：P37习题1—52、（3）（4）（5）（6）