基于Copula的风险管理实证分析

1内容摘要金融市场中风险无处不在，投资者为了获取投资收益的最大化，就要进行有效的风险管理，而管理的首要任务就是对金融风险进行度量。作为一种有效的金融风险度量手段，风险价值法由于其概念简单易懂、计算方便的优点而获得了广泛的应用。由于传统风险价值计算模型在假设方面存在与现实情况不符的缺陷，我们选用了更为有效合理的Copula-GARCH模型来计算组合的风险价值。本文研究内容包括两部分，第一部分是理论知识，对Copula函数、边际分布函数和VaR的基本理论作了简单的介绍。第二部分为实证分析，利用Eviews和Matlab软件对上证指数和深圳成指构建的资产组合做实证分析，选用GARCH（1，1）模型和t-GARCH(1,1)模型描述变量的边际分布，选用合适的Copula函数刻画资产间的相关结构，最后将两者结合计算投资组合的风险价值。关键词：风险价值CopulaGARCH模型基于Copula的风险管理实证分析一、绪论（一）选题背景及意义国家间贸易往来越来越频繁，全球金融市场之间的联系更加的紧密，任何地区的金融波动都有可能迅速波及到其他地区金融市场，进而引起全球性的金融危机。近年来盛行的金融创新活动，更是增加了市场波动的可能性，同时使得风险更加的隐蔽，金融风险的破坏力也大大提高。面对波动剧烈的金融市场，要想获取最大化的收益，就必须进行有效的风险管理，而进行管理的第一步就是对金融风险进行度量。过去学者们提出了各种风险度量方法，按照性质进行划分可以将其分为三大类：弹性法、波动性法和风险价值VaR法。在这三种风险管理方法中，VaR法较为基本和实用。VaR就是指给定置信水平下投资组合损失的最大值，此法能够用一个确定的数字对风险状况进行描述，且概念较易理解，因此得到了广泛的应用。2传统的VaR法假设单个资产变量服从正态分布，且资产变量之间都是用线性相关系数进行描述，但现实情况是，金融市场各资产收益率分布并不简单的服从正态分布，常常表现出“高峰厚尾”的性质，同时资产之间常常表现出非线性相关关系，在如此复杂的市场状况下，传统的金融计量模型由于假设过于偏离实际情况，在此假设下计算出的风险价值的准确性就有待商榷，因此迫切的需要一种能够准确的描述金融资产间相关性的模型。Copula模型的出现正好解决了这一问题。Copula函数能够将变量的边际分布和变量之间的相关结构分开进行考虑，且没有限制边际分布的类型，这极大地提高了模型拟合的准确性和结果的精度，基于Copula的优势，本文选用Copula进行相关投资组合的实证分析中。（二）文献综述Copula的研究始于Fréchet，统计学家Sklar（1959）首次使用了Copula这个名称，并给出了著名的Sklar定理。Copula理论指出任一联合分布函数都可以由单变量的边际分布和一个Copula函数组合构成，Copula函数表示变量间的相关结构关系，Sklar同时证明了在各边际分布是连续的情况下Copula函数的唯一性。在Sklar定理的基础之上，之后的学者对理论做了进一步的发展，Nelson于1999年对Copula函数的定义及构造方法作了系统的介绍，对Copula函数的性质和类型作了全面总结归纳，从理论上对Copula应用于度量相关性及构建变量联合分布领域作了深入的讨论，自此，Copula得到了更多的重视。1999年，Embrechts等学者将Copula函数应用于金融数量分析中，在研究金融变量之间的相关结构问题时创新性的使用了Copula函数，并将之与传统的线性相关系数度量结果进行比较，总结了用Copula函数度量相关结构的优点。之后经过不断的创新与发展，Copula理论被成功的引入了金融市场，应用于各个领域的研究当中。2001年，Bouyé深入研究了Copula函数在金融市场风险管理中的应用，Rockinger等将GARCH（generalizedautoregressiveconditionalheteroscedasticity）模型与Copula相结合，将构建金融变量联合分布分为两个步骤，利用GARCH模型构建边际分布，用Copula函数描述变量间的相关结构，建立了Copula-GARCH模型,对金融变量的相依性和风险加以研究，发现t-Copula能较为准确的刻画金融变量之间的相关结构。2001年，Patton将Copula函数从不变参数拓展到变参数的情况，2006年，Jondeau等将Copula-GARCH模型应用于国际股票市场的相关研究当中，经过不断地发展，Copula函数在金融领域的应用越来越广泛，渐渐也被应用于投资组合风险价值的计算当中。3在国内，2002年，张尧庭首次向国内学者介绍了Copula函数，作者重点介绍了Copula函数在金融市场特别是股票市场中的应用，作者认为可以将市场中所有股票价格的联合分布拆分成股票市场不同板块的联合分布，再用合适的Copula函数将这些板块整合在一起，从而将股票市场的风险进行分解，并展望了Copula在金融风险中的应用前景。此后，Copula函数受到了国内学者的关注，但国内很多学者的研究大多只停留在理论层面，对Copula理论的应用还有待进行更深一步的探讨。（三）研究框架本文主要内容为利用Copula函数对国内股票指数的风险价值做相应的实证分析。由于金融市场中金融资产收益率的厚尾性和资产之间非线性相关的特征，本文选用恰当的Copula函数对金融资产相关性进行描述，用GARCH模型描述资产的边际分布，两者结合对投资组合的多元联合分布进行描述，据此计算投资组合的风险价值。本文内容大致可以分两大块。第一部分简要介绍了Copula以及VaR的基本理论，给出了Copula函数的定义和Sklar定理，并列举了几种将会在本文的实证研究中用到的Copula函数，同时介绍了金融时间序列的边际分布模型以及风险价值的基本理论。第二部分为实证研究，本文选用上证和深成两种股票指数为研究对象，计算其投资组合的风险价值。进行实证分析时，利用Eviews软件对上证指数和深圳成指的收益率数据进行了统计分析，然后选用恰当的GARCH模型作为收益率的边际分布，并对其参数进行了估计，利用MATLAB对选取的Copula函数进行参数估计，最后将Copula函数与有关的GARCH模型结合起来计算投资组合的风险价值。二、Copula和VaR基本理论（一）Copula函数介绍Copula函数刻画了多个随机变量的边际分布函数之间的相关关系。根据在下文中将要介绍的Sklar定理，多元随机变量的联合分布是某个Copula函数和各随机变量的边际分布的复合，这提供了研究联合分布的直接方法。在具体应用Copula函数时，将变量的边际分布同各分量之间的相关结构分开进行估计和计算，用不同的函数对资产收益4率做拟合，选择的多样性提高了拟合的准确性，此法非常适合研究具有不同边际分布的随机变量间的相关结构信息。同时，Copula函数比相关系数提供了更多关于联合分布函数的信息，可以更为全面和准确的刻画随机变量间的相关关系。首先我们简单介绍著名的Sklar定理以及多元Copula函数的定义。1、多元Copula函数的定义1999年，Nelson对n元Copula函数(,,)C的性质作了如下总结：（1）定义域为：IN，即[0,1]N；（2）对于函数的任一变量，(,,)C都是非减的，即固定其他变量的值，函数值随其中一个变量的增加而增加，或者不变。同时，只要有一个变量的取值为0，则相应的函数值为0，若有变量的取值为1，则函数值有完全由其他变量决定；（3）(,,)C的边际分布()nC，1,2,,nN，且满足：()(1,,1,,1,,1)nnnnCuCuu，其中[0,1]nu，1,2,,nN。2、多元分布的Sklar定理设(,,)F为联合分布函数，12(),(),()NFFF为其边际分布为，则存在函数(,,)C，满足121122(,,,)((),(),,())NNNFxxxCFxFxFx，且若12(),(),()NFFF连续，则函数C是唯一的。反过来说，若知道一元分布12(),(),()NFFF和相应的Copula函数(,,)C，那么我们可以构造变量的联合分布函数(,,)F。根据以上定理，我们不仅可以通过边际分布函数和相应的Copula函数构造联合分布函数，还可以利用伪逆函数和联合分布函数来求解相应的Copula函数。3、几类常见的Copula函数Copula函数分为以下四类：正态Copula函数、t-Copula函数、阿基米德Copula函数和极值Copula函数①。GumbelCopula函数、ClaytonCopula函数、FrankCopula函数是三类常用的阿基米德Copula函数。本文我们选取了五种Copula函数对随机变量间的相关结构进行描述。五种Copula函数的具体定义如下：（1）正态Copula函数1111212(,,,;)((),(),,())NNCuuuuuu。其中，[1,1]，()为多元正态分布；1()为标准正态分布的逆函数；（2）t-Copula函数11112,12(,,,;,)((),(),,())NvvvvNCuuuvttututu，其中[1,1]，,()vt为多元t分布，1()vt为t分布的逆函数；①韦艳华,张世英.Copula理论及其在金融分析上的应用[M].北京:清华大学出版社,2008:16-20.5（3）GumbelCopula函数1121(,,,;)exp([ln])nNniCuuuu，其中，(0,1]；（4）ClaytonCopula函数1121(,,,;)(1])NNnnCuuuun，其中，(0,)；（5）FrankCopula函数11121(1)1(,,,;)ln(1)(1)nNunNNeCuuue，其中，0，3n时，(0,)。（二）边际分布模型在构建多个金融变量的Copula模型时，第一步就是要确定单个资产的边际分布。波动是金融市场极为普遍的现象，它随时间变化而变化，正确的边际分布模型需要能够全面刻画这一特征。由于GARCH模型可以较好刻画这一波动性，因此本文我们选用GARCH模型对时间序列边际分步进行描述。设ty是金融变量的收益率序列，GARCH模型定义如下：ttty（1）1(0,)tttINh（2）2011qptitiitiiihh（3）、其中0p，0q；00，0(1,2,,)iiq，0(1,2,,)iip。t表示收益率的均值，ty是过程残差t的函数，1tI是已知信息集，th是过程的条件方差。根据以上几式我们可以很容易的得到1,..(,)ttxxtyIiiNh。式（2）还可以写作以下两式：ttth，..~(0,1)iidtN。其中t称为标准化残差，这样的模型被称为GARCH（p，q）模型，而称t服从GARCH（p，q）过程。通常情况下，简洁的GARCH（1，1）模型能满足建模要求,而GARCH(1,1)-t模型能更好地描述一些金融时间序列分布的高峰厚尾现象，于是本文选用正态分布和t分布假设下的GARCH模型估计股票指数收益率的边际分布。下面我们简单介绍一下本文具体用6到的这两个过程。1、GARCH(1,1)过程GARCH(1,1)是最简单的GARCH过程，它的条件方差函数为2011ttthh（4）其中00,0,0。GARCH(1,1)是平稳的充要条件是1。2、GARCH(1,1)-t过程GARCH(1,1)-t的条件方差函数与（4）式相同，不同的是过程残差服从分布为：1*()(2)tttvItvhv，其中()tv表示自由度为v的标准t分布。（三）VaR简介1、VaR的定义设市场上的n个基础风险资产，收益率向量为12(,,,)Tnrrrr,资产配置权重为1