必修四--2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(经典)

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用a和b的坐标表·示ab呢？1.掌握平面向量数量积的坐标表示方法.(重点)2.掌握向量垂直的坐标表示的条件及平面内两点间的距离公式.（重点）3.能用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.（重点、难点）1122a=(x,y),b=(x,y)已知两个向量，abab如何用与的坐标表示呢？ijxoB(x2,y2)A(x1,y1)aby1122axiyjbxiyj因为，，112222121221121212ab(xiyj)(xiyj)xxixyijxyijyyjxxyy.所以两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.1212abxxyy1122已知两个向量()()，则a=x,y,b=x,y根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算.平面向量数量积的坐标表示(,),设能否用向量的坐标表示？axya222,aaaxy因为22.axy所以22222(,),.axyaxyaxy设则或1122222121,)(,),)).AxyBxyABxxyy设（,则（（向量的模能否用向量的坐标表示两向量垂直？121200.ababxxyy1122,),(,),axybxy（设ab,是非零向量，11221221//,)(,)0.ababxyxyxyxy（能否用向量的坐标表示两向量平行？1122,),(,),axybxy（设ab,是非零向量，A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0yA(1,2)例1.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.所以三角形ABC是直角三角形.因AB=(2-1,3-2)=(1，解:,1)为AC=(-2-1,5-2)=(-3,3)，所以ABAC=1×(-3)+1×3=0，所以AB⊥AC.两个非零向量的数量积是否为零是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一1122ax,y),b(x,y),ab(0180)设（且与夹角为，能否用向量的坐标表示两向量的夹角？12122222112222221122cos.00.xxyyababxyxyxyxy其中，2(5,7),(6,4),1例.设求及、间的夹角（精确到）.ababab22225(6)(7)(4)30282.5774,(6)(4)52,解：abab（）2cos0.03.7452.6.利用算器得计1rad=92k为何值时:(2)kab与3ab平行？3b（，2），a（1，2），例3.已知(1)kab与3ab垂直？平行时，它们是同向还是反向？(1,2)(3,2)(3,22))：(1解kabkkk，313(3,2)(10,4).ab（，2）3因kabab为（）（），()(3)0.3)4(22)0,19.所以即10(解得kababkkk193.所以时，与垂直kkabab1(2)1022)4(3)0,3由（解得，kkk133所以当时，与平行.kkabab1(3).3此kabab时3.所以与方向相反kabab注意反向时系数为负数，正向时系数为正数1.a(3,4),b(5,2),|a|,|b|,ab.已知求||5,||29答案:abab,=-7.10,(1,2)//.ababa2.已知，且，求的坐标222222答案：（，）或（，）.3.（2014·湖北高考）设向量a=（3,3），b=（1，-1），若abab，则实数=________.【解析】因为(3,3)ab，(3,3)ab，因为abab，所以(3)(3)(3)(3)=0，解得=3或-3.答案：3或-3A(1BC(1)2ABAC(2)cosBAC.4.已知，0),(0，1),(2，5),求的模.22(1(15),22(11)(15)(12(1)752(1)，1),，所以，，，7解：).即ABACABACABAC.(2)cos1115213.13226ABACBACABAC1.数量积的运算转化为向量的坐标运算：2.向量模的坐标公式：1212abxxyy.1122()()已知两个向量a=x,y,b=x,y，22(,),.axyaxy设则３.向量夹角的坐标公式：4.平行、垂直的坐标表示：121222221122cos.xxyyxyxy1221//0.abxyxy12120.abxxyy有谦和、愉快、诚恳的态度，而同时又加上忍耐精神的人，是非常幸运的.——塞涅卡言论的花，开得愈大；行为的果子，结得愈小.——冰心