试验设计与数据处理因子设计

9.1因子设计的一般概念很多试验包含着两个、三个或更多的因子（即因素）。对这些因子产生的效果都需要进行研究。一般说来，对这种类型的试验，因子设计方法是最有效的。使用因子设计方法，在每一个完全的试验或试验的多次重复中，各个因子的各个水平的所有可能的组合都要考虑。例如，假若因子A有a个水平，因子B有b个水平，则完成全部试验应包含所有的ab个组合。因子设计又叫析因设计。一个因子的效果是由因子水平的改变而引起的试验结果的变化，经常称为主要效果（或主效应）。例9.1.1设某一试验中有两个因子A和B，因子A有两个水平A1、A2，因子B有两个水平B1、B2，试验所得结果的数据如下表。表9.1.1两因子试验结果数据表因子B因子BB1B2B1B2因子AA12030因子AA12040A24052A25012（a）（b）试分别考查因子A、B的效果。解：先考虑第一种情况（a）。因子A的主要效果可以看成是在A的第二个水平下的平均结果与在第一个水平下的平均结果之差，记为A，即212302025240A类似地，因子B的主要效果是112402025230B再考虑第二种情况（b）。因子A的主要效果是12402021250A，因子B的主要效果是92502021240B。分别画出这两种情况的图形，如图9-1。010203040506002040因子A试验结果(a)无交互作用时B2B11B1B2A1A2010203040506002040因子A试验结果(b)有交互作用时图9－1A1A2B2B2B1B1从图形看出，在（a）中，B1B1与B2B2线近似平行。而在（b）中，B1B1与B2B2线明显地不平行而相交。这说明在第一种情况下，因子A、B之间没有交互作用。第二种情况下，因子A、B之间有交互作用。有时交互作用比因子本身的作用还大，因此，忽视交互作用就可能会犯大的错误，而因子设计方法是不会漏掉交互作用的，所以说，因子设计是有效的设计方法，特别是当交互作用存在的时候。9.22k因子设计假设试验中共有k个因子，每个因子都只有两个水平，这些水平可以是数量性的：如温度、压力或时间的两个值；也可以不是数量性的：如两个机器，两种操作方法，因子的出现与不出现两种情况，这些都是质量性的。这种设计的安排总共有2k个不同的组合，若每种组合下取一个观察值，总观察值共有2k个，因此叫2k因子设计。我们对2k设计作如下假设：（1）因子是固定的；（2）设计是完全随机的；（3）一般都满足正态性；（4）反应近似于线性。9.2.122设计2k设计中最简单的就是22设计，这种情况只有两个因子，每个因子两个水平，这两个水平可以很普通地用“低”（low）和“高”（high）这种形象的方法表示。下面就来看，22设计是怎么分析、解决问题的。假设在每一种水平组合下作n次重复观察，即取n个观察值。为分析问题的方便，我们引进下列记号：A表示因子A的效果，B表示因子B的效果，AB表示交互作用A×B的效果。a表示因子A在高水平、因子B在低水平情况下观察值之和；b表示因子A在低水平、因子B在高水平情况下观察值之和；ab表示因子A、B都在高水平情况下观察值之和，l表示因子A、B都在低水平情况下观察值之和。如图9－2所示。高b＝60ab＝90（用）1○○催化剂B低0○○（不用）l＝80a＝10001低（15％）高（25％）反应物浓度A图9－222设计的因子水平组合及其效果因子A的平均效果：在B的低水平下为lan1，在B的高水平下为babn1。总平均效果是这两个数的平均值，即lababnA21lbaabn21（9－1）因子B的平均效果：在A的低水平下为lbn1，在A的高水平下为aabn1。总平均效果是这两个数的平均值，即lbaabnB21lababn21（9－2）交互作用A×B的平均效果AB定义如下：它是在B的高水平下与在B的低水平下，A的平均效果之差的平均值，即lababnAB21balabn21也可看成在A的高水平下与在A的低水平下，B的平均效果之差的平均值，即lbaabnAB21balabn21（9－3）这里介绍一个方便的记忆方法：看图9－2中的正方形。因子A的总平均效果A是右边（高水平）两项之和减去左边（低水平）两项之和，再被2n除；因子B的总平均效果B是上边（高水平）两项之和减去下边（低水平）两项之和，再被2n除；交互作用A×B的总平均效果AB是右上方（两高水平）与左下方（两低水平）两项之和减去左上方（A低B高）与右下方（A高B低）两项之和，再被2n除。下面进行方差分析。定义若有线性组合mrrryC1满足约束条件mrrC10，则称这样的线性组合为对照（contrast）。并记为（对照）c＝mrrryC1（9－4）有了这个定义，则可以证明：C的离差平方和为mrrcmrrmrrrcCnCnyCS1221212()(对照）（9－5）根据（9－4）、（9－5），从（9－1）、（9－2）、（9－3），我们可以定义因子A、B以及交互作用A×B的总效果分别为（对照）A＝ab＋a－b－l（9－6）（对照）B＝ab＋b－a－l（9－7）（对照）AB＝ab＋l－a－b（9－8）它们都是ab、a、b、l的线性组合，组合系数只有1和（－1），满足041rrC。同时有4412rrC。因此，A、B、AB的离差平方和分别为nlbaabnSAA4(4122＝对照）（9－9）nlababnSBB4(4122＝对照）（9－10）nbalabnSABAB4(4122＝对照）（9－11）例9－2考虑一个化学反应过程，这里有两个因素：因素A为反应物的浓度，它有两个水平，15％、25％，因素B为催化剂，有两个水平：不用、用，每种组合做3次试验。因素各水平的组合情况为：A（low）15％B（low）不用催化剂A（high）25％B（low）不用催化剂A（low）15％B（high）用催化剂A（high）25％B（high）用催化剂全部试验得出的观察值如表9－2所示。试分析因子A、B及其交互作用A×B对化学反应的影响。表9－2因子水平组合i观察值（n＝3）yik123yi.记号AlBl28252780lAhBl363232100aAlBh18192360bAhBh31302990ab∑=330解：由表9－2很容易求出l＝28＋25＋27＝80a＝36＋32＋32＝100b＝18＋19＋23＝60ab＝31＋30+29=90由此得（对照）A＝90＋100－60－80＝50（对照）B＝90＋60－100－80＝－30（对照）AB＝90＋80－100－60＝10因子A、B及其交互作用A×B的平均效果分别为（注意：n＝3）33.8650(321＝＝对照）AA00.5630(321＝－－＝对照）BB67.1610(321＝＝对照）ABAB再由（9－9）、（9－10）、（9－11），得平方和分别为33.20834)50(2AS00.7534)30(2BS33.834)10(2ABS（以上的计算结果与采用方差分析一章中的公式计算的结果完全相同。）参照前面方差分析中公式，求总离差平方和ST和误差平方和SE。2121312...2322ijkijkTyyS＝282＋252＋…＋292－（330）2/12＝323.00SE＝ST－SA－SB－SAB＝323.00－208.33－75.00－8.33=31.34列方差分析表，见表9－3。表9－3例9－2方差分析表方差来源平方和自由度均方F值A208.331208.3353.15B75.00175.0019.13AB8.3318.332.13误差E31.3483.92总和T323.0011对A、B给出α＝0.01，对AB给出α＝0.05，查出F0.01（1，8）＝11.26、F0.05（1，8）＝5.23，FA＝53.1511.26，FB＝19.1311.26，FAB＝2.135.23。所以，因子A、B对化学反应均有显著影响，A的影响更显著，交互作用A×B无显著影响。以上所用的这种方法，通常叫做2k因子设计的标准分析方法。下面介绍22设计的符号规则。各因子的线性组合式按顺序l、a、b、ab写出来，称为标准顺序，用这个顺序表示因子的效果，各项的系数如表9－4所示。表9－4labab效果A－1＋1－1＋1效果B－1－1＋1＋1效果AB＋1－1－1＋1如果我们引进符号I表示整个试验的总和，全用“＋”号，把上表中的“＋1”“－1”，简写为“＋”“－”（即仅取正、负号），并把行与列交换，这样就得出一个完整的符号表，如表9－5，称为22设计效果计算代数符号表。表9－522设计效果计算代数符号表因子因子效果水平组合IABABlabab＋－－＋＋＋－－＋－＋－＋＋＋＋从纵向看，表9－5的每一列按l、a、b、ab配上该列顺序的＋、－号构成的和式，就是该因子的（对照）定义式。表9－5有下列性质：（1）除I列外，各列中“＋”号、“－”号个数相等；（2）任意两列（包括I列）同行系数乘积之和为0，这叫正交性。9.2.223设计23因子设计有3个因子，A、B、C，每个因子都是两水平。这里有主要效果A、B、C，两两交互作用的效果为AB、AC、BC，3个因子交互作用的效果为ABC。为便于计算这些效果，做一个立方体。按照与22设计类似的原则和方法定出立方体各顶点的记号，见图9－3。bc··abc(高)1c··ac因子Cb··ab1(高)(低)0l··a因子B0(低)01(低)(高)因子A图9－323设计的因子水平组合及其效果计算效果A：当B、C都在低水平时为)(1lan当B在高水平、C在低水平时为)(1babn当B在低水平、C在高水平时为)(1cacn当B、C都在高水平时为)(1bcabcn4项总平均效果为A＝41[)(1lan＋)(1babn＋)(1cacn＋)(1bcabcn]＝bccblabcacaban41（9－12）式中方括号内的部分是8项构成的代数和（参看图9－3），前4项是立方体右半部（A在高水平）4个顶点数值之和（都为＋），后4项是立方体左半部（A在低水平）4个顶点数值之和（都为－），这正好是（对照）A。由此可将效果A写成nAA4(对照）（9－13）其中（对照）A＝bccblabcacaba（9－14）用与前面完全类似的方法，推出因子B的效果B为nBB4(对照）（9－15）（对照）B＝accalabcbcabb（9－16）它也是由两部分组成：前4项是图9－3中立方体的后面（B在高水平），都取“＋”，后4项是立方体的前面（B在低水平），都取“－”。完全类似，C的效果C为nCC4(对照）（9－17）（对照）C＝abbalabcbcacc（9－18）其中前4项是立方体的上部（C在高水平），都取“＋”，后4项是立方体的下部（C在低水平），都取“－”。交互作用A×B的总平均效果AB是下面两部分的平均：①C在低水平时，A效果在B的两个水平下的平均差，即balabnnlanbab2121②C在高水平时，A效果在B的两个水平下的平均差，即bcaccabcnncacnbcabc2121AB＝21｛balabn21＋bcaccabcn21｝即AB＝bcacbaclabcabn41（9－19）可记为AB＝nAB4(对照）（9－20）（对照）AB＝bcacbaclabcab（9－21）（对照）AB由两部分组成：（见图9－3）①前4项为“＋”，其中两项为ab、abc是A、B都在高水平，另两项为l、c是A、B都在低水平；②后4项为“－”，其中两项为a、ac