2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角(教学设计)

SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（教学设计）[教学目标]一、知识与能力：1．掌握平面向量数量积的坐标表示；2．能利用平面向量数量积解决有关长度、角度的问题.二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想方法，培养学生转化问题的能力；借助物理背景，感知数学问题，探究知识的来龙去脉；培养学生转化问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点]向量的数量积的坐标表示、模、夹角[教学难点]求向量的模与夹角一、复习回顾1．平面向量的数量积的物理背景及几何意义a﹒b=|a||b|cos，其中是a与b的夹角；数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.2．平面向量数量积的运算律.（1）ab=ba；（2）(a)b=(ab)=a(b)；（3）(a+b)c=ac+bc3．两个向量的数量积的性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则：1）cos||aeaae2）0baba3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|；当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|.特别地，a·a=|a|2或|a|=aa4）cos||||baba5）|a·b||a|·|b|二、师生互动，新课讲解：1．平面向量数量积的坐标表示探究：已知两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，怎样用a与b的坐标表示a﹒b？∵a=x1i+y1j，b=x2i+y2j，SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）∴a﹒b=(x1i+y1j)﹒(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i﹒j+x2y1i﹒j+y1y2j2又∵i﹒i=1，j﹒j=1，i﹒j=j﹒i=0∴a﹒b=x1x2+y1y2即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.2．向量的模22222(,),||,||xyxyyx若则或aaa.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，那么2122222111,||xyxxyyxyaa.3．向量的垂直设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则abx1x2+y1y2=0.4．向量的夹角设a、b都是非零向量，a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，是a与b的夹角，则121222221122cos|||·|xxxxyyyyabba.例1：已知a=(3,-1)，b=(1,-2)，求a﹒b，|a|，|b|，a与b的夹角.解：·31125ab，22||3110a，22||125b，52cos,||||1542·0abba.变式训练1：已知a=(1,2)，b=(2,-2)，求|a|，|b|以及a与b的夹角的余弦值.||5,||22,122210cos10522ab例2：1,2,2,3,2,5,.ABCABAC已知求证:1,1,3,3,·1,13,30.ABACABACABAC解：变式训练2：||213,2,3,已知且，求的坐标.ababaSCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）2266446,46,4.,,213230xxyyyxyxxy解：设由题意得或或，aaa例3已知a=(-3,5)，b=(2,-3)，若a+kb与2a+3b垂直，求k的值.32,53,230,1,235305.3kkkkkk解：由题意abababab变式训练3：已知a=(2,-3)，b=(3,1)，且b-a与b垂直，求实数的值.32313110310.3bab例42,,32,1,.kkkkABABACC已知求实数的值，使三角形是直角三角形225,56016;52,11002;415160162.BCACABAABACkkkkBABBCkkCBCACkkkkkk是直角时或当是直角时，解当是直角时，，此方程无或或当解，：变式训练4：在△ABC中，AB=(2，3)，AC=(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值.解：当A=90时，ABAC=0，∴2×1+3×k=0∴k=23当B=90时，ABBC=0，BC=ACAB=(12，k3)=(1，k3)∴2×(1)+3×(k3)=0∴k=311当C=90时，ACBC=0，∴1+k(k3)=0∴k=2133三、课堂小结，巩固反思：1．平面向量数量积的坐标表示，2．能利用平面向量数量积解决有关长度、角度的问题.四、课时必记：1．向量的模22222(,),||,||xyxyyx若则或aaa.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，那么SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）2122222111,||xyxxyyxyaa.2．向量的垂直设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则abx1x2+y1y2=0.3．向量的夹角设a、b都是非零向量，a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，是a与b的夹角，则121222221122cos|||·|xxxxyyyyabba.五、分层作业：A组：1、（课本P108习题2.4A组：NO：1）2、（课本P108习题2.4A组：NO：3）3、（课本P108习题2.4A组：NO：5）4、（课本P108习题2.4A组：NO：8）5、（课本P108习题2.4A组：NO：9）6、（课本P108习题2.4A组：NO：10）7、（课本P108习题2.4A组：NO：11）B组：1.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（）A.)54,53(或)53,54(B.)54,53(或)54,53(C.)54,53(或)53,54()54,53(或)54,53(2、已知a=(3，1)，b=(1，2)，求满足xa=9与xb=4的向量x.解：设x=(t，s)，由429349ststbxax32st∴x=(2，3)3、已知a＝（１，3），b＝（3＋１，3－１），则a与b的夹角是多少?分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.解：由a＝（１，3），b＝（3＋１，3－１）有a·b＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２2．SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22baba又∵０≤θ≤π，∴θ＝4C组：1、如图，以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角△OAB，使B=90，求点B和向量AB的坐标.解：设B点坐标(x，y)，则OB=(x，y)，AB=(x5，y2)∵OBAB∴x(x5)+y(y2)=0即：x2+y25x2y=0又∵|OB|=|AB|∴x2+y2=(x5)2+(y2)2即：10x+4y=29由2723232729410025221122yxyxyxyxyx或∴B点坐标)23,27(或)27,23(；AB=)27,23(或)23,27(