浅谈数形结合在解题中的应用

******************************************************************遵义师范学院毕业论文（设计）题目：浅谈数形结合在解题中的应用系别数学系专业数学与应用数学年级2007级_姓名潘仁英学号07410501047指导教师李洪超2011年3月3日厚德树人笃学致用遵义师范学院毕业论文（设计）表一选题审批表姓名潘仁英专业、年级数学与应用数学2007级学号07410501047论文题目浅谈数形结合在解题中的应用选做本课题的理由及条件分析：数形结合的思想在中学数学解题中有着广泛的应用。数与形是数学的两种表达形式，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观。将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易，化繁为简，从而得到解决。数形结合思想问题历来都是众多教育工作者的研究对象，也是中学数学解题思路中的一棵常青树，在老师的教学和学生的学习解题过程中都有广泛的应用，因此研究这一课题对以后我们走上讲台有着及其重要的意义。指导教师意见：签名：年月日系毕业论文（设计）领导小组意见：签名：年月日注：选题应当符合学院的人才培养目标，符合专业培养方向，能够提高学生的综合能力。师范专业的应当尽量地联系基础教育实际。遵义师范学院毕业论文（设计）表二任务书数学与应用数学专业潘仁英同学（学号：07410501047）：现将毕业论文（设计）任务书下达给你，具体内容如下：1.论文题目浅谈数形结合在解题中的应用2.主要内容数形结合包含“以形助数”和“以数解形”两个方面。本文将以几道例题为例，举例说明“数中思形，以形助数”在解决问题中的一些妙用。3.主要方法数形结合法4.主要参考文献[1]刘焕芬.巧用数形结合思想解题.数学通报,2005,44(1):42-44.[2]康小玲.数形结合法.数学教学通讯,2002(5):46.[3]李许令.“数形结合”方法在在解决数学问题中的应用.山西广播电视大学学报,2002,9(3):77.5.写作进度起止时间工作内容2010.7—2010.9阅读大量期刊和书籍，并写读书笔记2010.9—2010.10确定论文题目和提纲2010.10—2010.11查阅相关资料并写初稿2010.11—2010.12完成第一次修改于订正2010.12—2011.1完成第二次修改于订正2011.1—2011.4最后定稿指导教师：年月日学生：年月日系主任：年月日遵义师范学院毕业论文（设计）表三答辩申请暨资格审查表学生姓名：潘仁英论文题目：浅谈数形结合在解题中的应用答辩申请（对毕业论文的研究步骤和方法、主要内容及创新之处进行综述，提出答辩申请）：在数学的解题过程中,数形结合的思想有着广泛的应用,并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好数形结合思想是学习数学的关键一环.本文主要研究数形结合的思想在解题中的应用.这种数学思想对培养学生分析问题、解决问题的能力的提高有着重要的作用.推理过程的研究式学习也是训练严密逻辑思维的有效方式.本文通过对数形结合的思想的探讨,显现出数形结合思想的应用之广泛.其研究结果在解题时可以提供一些方法的参考，也同时能给相关学科研究人员在解决比较复杂的问题时能有一定的思路指导.在指导老师的细心指导下,对初稿进行修改,使其完善和严密,定稿打印装订，并进行答辩.经过反复仔细修改和严格审查，并经过导师的指导认定，本论文按时完成，特申请本论文按时答辩，请批准。资格审查项目1.文档资料是否齐全（任务书、开题报告、文献综述、答辩申请、论文定稿及其相关资料）2.文档格式是否符合规范3.是否按时向指导教师提交全部正式材料4.是否剽窃他人成果指导教师意见：签名：时间：教学系毕业论文答辩委员会意见：主任签名：时间：遵义师范学院毕业论文（设计）表四指导教师成绩评定表一、评分标准项目优秀中等不及格得分工作量、开题报告、文献阅读和综述20%出色地完成任务书规定的工作量，全部阅读教师指定的参考资料、文献，还阅读较多的自选资料，开题报告内容、形式完全符合要求按时完成任务书规定的工作量，阅读教师指定的参考资料、文献，开题报告基本符合要求没有完成任务书规定的工作量，未完成阅读任务，开题报告不符合要求学术水平与实际能力20%论文见解独特，富有创新性，有较高的学术水平或较大的使用价值。实际工作能力强，完全能达到综合训练要求选题有一定的价值，见解有一定的独到之处。实际工作能力一般，基本达到综合训练的要求论题不能成立或有抄袭、剽窃等问题。未能达到综合训练的要求论证能力20%资料充分，能熟练地掌握和运用基本理论，观点正确，论据确凿、论述清晰缜密资料较齐全，掌握基本理论程度一般，观点正确，论述较清晰资料准备不充分，基本观点有错误或主要材料不能说明观点论文撰写质量20%结构严谨，逻辑性强，内容翔实,表达准确、流畅，语言生动，论文完全符合规范化要求，英文摘要翻译准确内容较充分，文字通顺，论文撰写基本达到规范化要求，英文摘要符合要求内容空泛，结构混乱，文字表达不清，文题不符或文理不通，有抄袭现象，英文摘要不通学习态度与规范要求20%学习态度认真，模范遵守纪律，治学严谨。完全符合规范化要求，严格保证论文完成时间，并按任务书规定进度出色完成各项任务学习态度尚好，遵守组织纪律。基本能保证毕业论文（设计）时间，按期完成各项工作学习马虎，纪律涣散。论文不符合规范化要求,不能保证按期完成任务注：介于优秀与中等之间者为良好，介于中等与不及格之间者为及格。优秀：18－20分；良好：16－17分；中等：14－15分；及格：12－13分；不及格：11分以下。总分二、指导教师评语：指导教师签名：时间：遵义师范学院毕业论文（设计）表五主辩教师成绩评定表一、评分标准项目优秀中等不及格得分学术水平30%选题有价值，论文见解独特，富有创新性，有较高的学术水平或较大的使用价值。能达到在国内省级及以上期刊公开发表的水平。选题有一定的价值，见解有一定的独到之处。论题不能成立或有抄袭、剽窃等问题。论证能力30%资料充分，能熟练地掌握和运用基本理论，观点正确，论据确凿、论述清晰缜密资料较齐全，掌握基本理论程度一般，观点正确，论述较清晰资料准备不充分，基本观点有错误或主要材料不能说明观点论文撰写质量40%结构严谨，逻辑性强，内容翔实,表达准确、流畅，语言生动，论文完全符合规范化要求内容较充分，文字通顺，论文撰写基本达到规范化要求内容空泛，结构混乱，文字表达不清，文题不符或文理不通，或有抄袭现象注：介于优秀与中等之间者为良好，介于中等与不及格之间者为及格。“学术水平”与“论证能力”两项中，优秀：27－30分；良好：24－26分；中等：21－23分；及格：18－22分；不及格：17分及以下。“论文撰写质量”中，优秀：36－40分；良好：32－35分；中等：28－31分；及格：24－27分；不及格：23分及以下。总分二、主辩教师评语：主辩（评阅）教师签名：时间：遵义师范学院毕业论文（设计）表六答辩情况记录表学生姓名潘仁英论文题目浅谈数形结合在解题中的应用答辩记录：记录人（签名）年月日遵义师范学院毕业论文（设计）表七答辩小组意见及成绩汇总表论文题目浅谈数形结合在解题中的应用姓名潘仁英专业数学与应用数学班级2007级（1）班学号07410501047指导教师评分（占总成绩的40%）评阅教师评分（占总成绩的30%）答辩小组评分（占总成绩的30%）综合得分答辩小组评语：组长签名：时间：教学系毕业论文答辩委员会意见：主任签名：时间：浅谈数形结合在解题中的应用潘仁英摘要：在数学的解题过程中,数形结合的思想有着广泛的应用,并以各种形式出现而贯穿全过程,因此掌握好数形结合思想是数学解题的关键一环.对培养学生分析问题、解决问题的能力有着重要的作用.关键词：数形结合；以形助数；以数解形；应用现。概括，形是数的直观表达形式，数是形的抽象数与形是数学的两种表数意义，内在联系，既分析其代问题的条件和结论间的数形结合就是根据数学又揭示几何直观。。将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，充分利用这种它包含“为简，从而得到解决。使问题化难为易，化繁结合，寻找解题思路，说明它在以几道例题为例，举例形”两个方面。本文将以形助数”和“以数解解题中的一些妙用。1.以形助数在解数学题的过程中我们要把方程与函数密切联系起来，对于一些直接求解困难的题，不妨考虑一些数形结合，以形助数，寻求最快捷的方法。例1的最大值。求满足等式如果实数xyyyxyx,3)(,22解：等式3)2(22yx表示以(2,0)为圆心,以3为半径的圆。xy表示圆上的点yx,与原点连线的斜率。当与⊙相切，且切点落在第一象限时，斜率有最大值，即xy有最大值。所以3)(maxxy。例2的值域为函数22222xxxxy（）。解：因为22222xxxx是一个分式，我们把它看作点P(xxxx2,222)与点)0,2(A连线的斜率,由于11)1(222xxx所以点P(xxxx2,222)在射线)1(xxy上移动.因此不难求出AP斜率的取值范围是1,1即函数的OY-1-1值域为1,1yPA-1ox-1在这个例题当中，关键是会将xx22看作一个整体，然后把分式看作是两点连线的斜率,充分利用几何的知识，求出值域。函数的图象也是解决代数问题的一种非常有效的方法,很多函数方程不等式的问题都应用到数形结合,这对数学知识和问题加深认识,理解透彻,有很大帮助。变式的最大值和最小值。求函数),0(cos2sin2xxxxy错解：函数xxycos2sin2表示定点2,2和单位圆上的动点xxsin,cos连接的斜率，当直线2)2(xky与单位圆相切时，取得最大值和最小值（如图1），由11222kkd，得374k。374最大y，374最小y.2,22,2yyxx图1图2分析：上述解答中忽视了条件),0[x,将半单位圆当作单位圆了，所画的图形实际上已经把范围扩大了，事实上，y表示点2,2与半单位圆上点xxsin,cos),0[(x）连线的斜率（如图2），同前面，得374最小y，用代入点法得21202最大y。在以上两个例题和变式题当中，解题时首先观察解析式，抓住其特征，利用直线斜率的几何意义，数形结合解题。一般函数求值域、最值的方法有多种，它们均可应用于求三角函数的值域、最值之中，需要分析所给函数式的特点，适当化简、换元，选择恰当方法求解。例3的实数根的个数是方程xxsinlg()A1个B2个C3个D4个分析：如果直接用代数方法求该方程是y很困难的，因此考虑用数形结合法来尝试求1出函数xylg与xysin图象的交点的个3x数。在同一坐标系里作出xylg与xysin的图象，画出简图，容易看出答案选C。例421212log2,1xxxxaxxxaax的解，求和分别是时，已知当的值。分析：将两个方程分别化为,2log2xxxaax和令,2)(,log)(,)(xxhxxgaxfax则由题意可知1x是)(xf的图像与)(xh的图像交点的横坐标，2x是)(xg的图像与)(xh的图像交点的横坐标，如图所示。xxaxf)(xyxxfalog)(1x2xy因为)(xf与)(xg互为反函数，所以图像上的点BA,关于直线xy对称。由C点的坐标为1,1，则21xx=2.由于题目中的方程不是常规方程，不能用常规方法来求解，因此我们常常利用函数的图像来解决。函数的图像是函数关系的一种直观、形象的表示，解决与函数有关的问题，利用图像来解决更容易、更简便。在分析这类问题是我们的步骤通常是首先确定有关函数，然后画出图像，最后分析、解决问题。从这几道题可以清楚的看到，从题目所给的式子中找到有关的图形，由图形的性质并结合图形中点的位置找出了更深一层的数量关系，从而得到解题的方法