【山医大大一高数课件】1.3函数的连续性

1.3函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量.,),(,)()(0000的增量称为自变量在点内有定义在设函数xxxxxUxxUxf.)(),()(0的增量相应于称为函数xxfxfxfyxy0xy00xxx0)(xfyx0xxx0xyy)(xfy2.连续的定义定义1设函数)(xf在)(0xU内有定义,如果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函数的增量y也趋向于零,即0lim0yx或0)]()([lim000xfxxfx,那末就称函数)(xf在点0x连续,0x称为)(xf的连续点.,0xxx设),()(0xfxfy,00xxx就是).()(00xfxfy就是定义2设函数)(xf在)(0xU内有定义,如果函数)(xf当0xx时的极限存在,且等于它在点0x处的函数值)(0xf,即)()(lim00xfxfxx那末就称函数)(xf在点0x连续.例1.0,0,0,0,1sin)(处连续在试证函数xxxxxxf证,01sinlim0xxx,0)0(f又由定义2知.0)(处连续在函数xxf),0()(lim0fxfx3.单侧连续;)(),()0(,],()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxf定理.)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数xxfxxf.)(),()0(,),[)(0000处右连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfbxxf例2.0,0,2,0,2)(连续性处的在讨论函数xxxxxxf解)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f右连续但不左连续,.0)(处不连续在点故函数xxf4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续..],[)(,,,),(上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间baxfbxaxba连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.二、函数的间断点:)(0条件处连续必须满足的三个在点函数xxf;)()1(0处有定义在点xxf;)(lim)2(0存在xfxx).()(lim)3(00xfxfxx).()(),()(,00或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称要有一个不满足如果上述三个条件中只xfxxxf例4.0,0,1,0,)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.为函数的间断点0xoxy例5.1,1,11,10,1,2)(处的连续性在讨论函数xxxxxxxfoxy112xy1xy22)(lim1xfx解,1)1(f,2)01(f,2)01(f),1(f.为函数的间断点0x例6.0,0,,0,1)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解oxy,0)00(f,)00(f.为函数的间断点1x例7.01sin)(处的连续性在讨论函数xxxf解xy1sin,0处没有定义在x.函数的间断点0x例8.0,0,,0,cos)(,处连续在函数取何值时当xxxaxxxfa解xxfxxcoslim)(lim00,1)(lim)(lim00xaxfxx,a,)0(af),0()00()00(fff要使,1时故当且仅当a.0)(处连续在函数xxf,1a三、四则运算的连续性定理1.)0)(()()(),()(),()(,)(),(000处也连续在点则处连续在点若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf例如,,),(cos,sin内连续在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续故xxxx定理3)].(lim[)()]([lim,)(,)(lim000xfafxfaufaxxxxxxx则有连续在点函数若意义1.极限符号可以与函数符号互换;.))((.2的理论依据变量代换xu四、复合函数的连续性xxx101coslim例例1.)1ln(lim0xxx求.1xxx10)1ln(lim原式])1(limln[10xxxeln解例2.1lim0xexx求.1)1ln(lim0yyy原式解,1yex令),1ln(yx则.0,0yx时当yyy10)1ln(1lim同理可得.ln1lim0axaxx.)]([,)(,)(,)(00000也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数xxxfyuuufyuxxxxu定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,,),0()0,(1内连续在xu,),(sin内连续在uy.),0()0,(1sin内连续在xy定理5基本初等函数在定义域内是连续的.定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.五、初等函数的连续性1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,,1cosxy,4,2,0:xD这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32xxy,1,0:xxD及在0点的邻域内没有定义..),1[上连续函数在区间注意注意2.初等函数求极限的方法代入法.例3.1sinlim1xxe求1sin1e原式.1sine例4.11lim20xxx求解解)11()11)(11(lim2220xxxxx原式11lim20xxx20.0)()()(lim000定义区间xxfxfxx1.3.4闭区间上连续函数的性质定理1(最值定理)闭区间上的连续函数一定可以取到它的最大值和最小值至少各一次.ab21xyo)(xfy定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.定理3（介值定理）：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.定理4(根的存在定理)设函数)(xf在闭区间ba,上连续，且)(af与)(bf异号，那末在开区间ba,内至少存在一点)(ba，使0)(f..),()(内至少存在一个实根在即方程baxf0几何解释:.,)(轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧xxxfyab321xyo)(xfy例1.)1,0(01423至少有一根内在区间证明方程xx证,14)(23xxxf令,]1,0[)(上连续在则xf,01)0(f又,02)1(f由零点定理,使),,(ba,0)(f,01423即.)1,0(01423内至少有一根在方程xx例2.)(),,(.)(,)(,],[)(fbabbfaafbaxf使得证明且上连续在区间设函数证,)()(xxfxF令,],[)(上连续在则baxFaafaF)()(而,0由零点定理,使),,(ba,0)()(fFbbfbF)()(,0.)(f即思考题下述命题是否正确？如果)(xf在],[ba上有定义，在),(ba内连续，且0)()(bfaf，那么)(xf在),(ba内必有零点.思考题解答不正确.例函数0,210,)(xxexf)(xf在)1,0(内连续,.)()(0210eff但)(xf在)1,0(内无零点.