【山西医科大学大一高数课件】一阶线性微分方程07

6.2一阶微分方程一、可分离变量的微分方程二、一阶线性微分方程三、伯努利(Bernoulli)方程一、可分离变量的微分方程形如)()(ygxfdxdy的微分方程叫可分离变量的微分方程。这类方程的解法是：首先把原方程改写成)0)(()()(ygdxxfygdyxy即把变量和分离开来，然后两边积分dxxfygdy)()(即可得到原方程的通解例1求解微分方程.2的通解xydxdy解分离变量,2xdxydy两端积分,2xdxydyCxylnln2.2为所求通解xcey例2求微分方程22yxyxyxdxdy满足初始条件2|0xy的特解．解原方程可化为dxxxdyyy2211两边积分得Cxyln21)1ln(21)1ln(2122Cxyln)1ln()1ln(22)1(122xCy由初始条件2|0xy得5C故方程的特解4522xy齐次微分方程形如)(xydxdy的方程称为齐次微分方程．解这类方程，可先进行变量代换，令xyu即uxy，将uxy两边对x求导数，有dxduxudxdy代入微分方程得)(udxduxu分离变量后xdxuudu)(两边积分xdxuudu)(求出积分后，再用xy代替u便得到原齐次方程通解例3求微分方程xyxydxdytan的通解．解这是一个齐次微分方程，令xyu得uudxduxutan即udxduxtan分离变量，得xdxuducot两边积分，得CxulnlnsinlnCxusinCxxysin例4求微分方程的特解．yxxyy2)1(,y解令代入方程中，得uxyuudxduxu1xdxuduxdxudu22Cxuln22Cxxyln222把初始条件2|1xy代入上式，得4C于是齐次方程的特解为2224ln2xxxy例5求解方程2)(yxdxdy解令yxz则dxdydxdz1代入原方程得21zdxdzdxzdz21Cxzarctan故原方程通解为Cxyx)arctan()()(xQyxPdxdy一阶线性微分方程的标准形式:,0)(xQ当上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.,0)(xQ当二、一阶线性微分方程.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy齐次方程的通解为.)(dxxPCey1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2.非齐次方程).()(xQyxPdxdy如果)(xP和)(xQ不成比例，非齐次方程就不是可分离变量的方程．用所谓的常数变易法来求线性非齐次方程的通解．常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.作变换dxxPexuy)()(,)()()()()(dxxPdxxPexPxuexuy代入原方程得和将yy,)()()(CdxexQxudxxP),()()(xQexudxxP积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQy)()(])([dxexQeCedxxPdxxPdxxP)()()()(对应齐次方程通解非齐次方程特解.sin1的通解求方程xxyxy,1)(xxP,sin)(xxxQCdxexxeydxxdxx11sinCdxexxexxlnlnsinCxdxxsin1.cos1Cxx解例1例2求解微分方程xexydxdysincos解xxPcos)(xexQsin)()(][][sinsinsinsincossincosCxeCdxeeeCdxeeeyxxxxxdxxxdx例3若20)()(xxfdtttfx求)(xf解利用上限函数的性质，两边求导得：xxfxxf2)()(且0)0(f令)(xfyxyxy2xxyy22212212212212212]2[]2[])2([)(xxxxxdxxxdxCeCeeCdxxeeCdxexey伯努利(Bernoulli)方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()()1,0(n方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.三、伯努利方程时，当1,0n时，当1,0n解法:需经过变量代换化为线性微分方程.),()(1xQyxPdxdyynn，得两端除以ny,1nyz令),()1()()1(xQnzxPndxdz)()(1111xQyxPdxdynnn.42的通解求方程yxyxdxdy,412xyxdxdyy,yz令,2122xzxdxdz,22Cxxz解得.224Cxxy即解，得同除以ny例3242xyxdxyd222xyxdxyd例4用适当的变量代换解下列微分方程:;22.122xxexyyy解:2得令yz,22xxexzdxdz][222Cdxexeezxdxxxdx所求通解为).2(222Cxeyx2222xxexydxdy;)(sin1.22xyxyxdxdy解原式可化为,xyz令,dxdyxydxdz则,sin12zdxdz,42sin2Cxzz分离变量得所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy)(sin12xydxdyxy;1.3yxdxdy解,uyx令,1dxdudxdy则代入原式,11udxdu分离变量得,)1ln(Cxuu代回将yxuCyxy)1ln(另解.yxdydx方程变形为