全同粒子体系的波函数泡利原理

第七章自旋与全同粒子我们已经知道，从薛定谔方程出发可以解释许多微观现象，例如计算谐振子和氢原子的能级从而得出它们的谱线频率，计算离子被势场散射时的散射截面以及原子对光的吸收和发射系数等。计算结果在相当精确的范围内与实验符合。但是这个理论还有较大的局限性。首先，薛定谔方程没有把自旋包含进去，因而用前面的理论还不能解释牵涉到自旋的微观现象，如塞曼效应等。此外，对于多粒子体系（原子、分子、原子核、固体等等），前面的理论也不能处理。§7.1电子的自旋一、提出电子自旋的依据1、1912年反常塞曼效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线分裂，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释，因为这只能分裂谱线为（2n+1）重，即奇数重。2、原子光谱的精细结构。比如，对应于氢原子2p→1s的跃迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构等3、斯特恩—盖拉赫实验（1922年）基态银原子束通过不均匀磁场后，分离成朝相反方向的两束。如图：结论：除具有轨道角动量外，电子还应具有自旋角动量。自旋是一种相对论量子效应，无经典对应。针对以上难以解释的实验现象，1925年乌仑贝克和高德施密特提出假设：(1)每个电子具有自旋角动量s，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：)11.7(;2zs(2)每个电子具有自旋磁矩Ms，它和自旋角动量s的关系是)21.7()(,);(,CGSsceMSIseMss二、电子自旋的假设§7.2电子自旋算符和自旋函数电子具有自旋角动量这一特性纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。自旋角动量也是一个力学量，但它和其他力学量有根本的差别：一般力学量都可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个变量。一、自旋算符zyxSkSjSiSˆˆˆˆ2222ˆˆˆˆzyxSSSS自旋角动量满足的对易关系是：)12.7(ˆˆˆSiSS)22.7(ˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆˆyxzxzyzyxSiSSSiSSSiSSSiSS0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[222SSSSSSzyxzSˆ由于在空间任意方向上的投影只能取两个数值，所以和三个算符的本征值都是，它们的平方就都是：yxSSˆˆ、Sˆ2242)32.7(.42222zyxSSS所以，)42.7(4322222ˆˆˆˆzyxSSSS令)52.7()1(22ssS将上式与轨道角动量平方算符的本征值比较，可知s与角量子数相当，我们称s为自旋量子数。但这里s只能取一个数值，即s=1/2.22)1(llLl二、泡利算符为简便起见，引进一个算符，它和的关系是ˆSˆ)62.7(ˆ2ˆˆ2ˆˆ2ˆˆ2ˆzzyyxxSSSS将（7.2-6）式代入（7.2-1）式，得到所满足的对易关系：ˆ)72.7(ˆ2]ˆ,ˆ[ˆ2]ˆ,ˆ[ˆ2]ˆ,ˆ[ˆ2ˆˆyxzxzyzyxiiii并且有：)82.7(0],ˆ[],ˆ[],ˆ[222zyx)92.7(1ˆˆˆ222zyx)102.7(3ˆ2222zyx的分量之间具有反对易关系：ˆ000zxxzyzzyxyyx三、电子自旋态的表示方法考虑了电子的自旋，电子的波函数应写为：)112.7(),,,,(tszyxz由于只能取两个数值。所以（7.2-11）式实际上上可以写为两个分量zs2),2,,,(),,,(),2,,,(),,,(21tzyxtzyxtzyxtzyx我们可以把这两个分量排成一个二行一列的矩阵：)122.7(),,,(),,,(21tzyxtzyx于是，自旋朝上的几率rd21自旋朝下的几率rd22总的归一化表示为：)132.7(12221rdrd在有些情况下，不含自旋或为空间部分和自旋部分之和，的本征函数可分离变量求解。HˆHˆ)142.7()()(),(zzsrsr的几率。为。2,22zsbaba四、泡利（Pauli）矩阵10,0121211)21(0)21(0)21(1)21(21212121在与的共同表象中2ˆszsˆ)152.7(1001ˆz令dcbaxˆ由zxxzˆˆˆˆ即dcbadcba可得出0da于是，00ˆ00ˆ**bccbxxˆ为厄米矩阵：*ˆˆcbxx则)162.7(0*0ˆbbx而1ˆ2x亦即11001000*00*022bbbbbbiebb12同样可求出：00ˆiixee)172.7(00ˆiiyee利用xyyxˆˆˆˆ)()()()(0000iiiieeee0)()(iiee0)cos(习惯上取：2,0,23,2（7.2-18）（7.2-19）将（7.2-19）式代入（7.2-16）式和（7.2-17）式得到的结果便是泡利矩阵泡利矩阵0110ˆx00ˆiiy1001ˆz自旋算符01102ˆxs002ˆiisy10012ˆzs（7.2-20）（7.2-21）自旋算符用矩阵（7.2-21）表示后，自旋算符的任一个函数也表示为二行二列的矩阵：Gˆ)222.7(ˆ22211211GGGGG算符在态中，对自旋求平均的结果是Gˆ)232.7()(2122211211*2*1GGGGGG算符在态中，对坐标和自旋同时求平均的平均值是Gˆ)242.7(dGG§7.3简单塞曼效应1896年塞曼（P.Zeeman）发现：置于强磁场中的原子（光源）发出的每条光谱线都分裂为三条，间隔相同。为此获1902年诺贝尔物理奖。因为不必引入自旋，所以洛仑兹很快作出了经典电磁学解释。称为正常塞曼效应。p3s3LL无外磁场加强磁场正常塞曼效应一、强磁场中的正常塞曼效应类氢（或碱金属）粒子：)13.7(ˆˆˆ0BHHH)23.7()ˆ2ˆ(ˆ222222200)(2ˆ12)(2ˆzzBBSLBHrVrLrrrrVH一、强磁场中的正常塞曼效应类氢（或碱金属）粒子：)13.7(ˆˆˆ0BHHH)23.7()ˆ2ˆ(ˆ222222200)(2ˆ12)(2ˆzzBBSLBHrVrLrrrrVH能量本征方程为：)33.7()(ˆ0zlmnlnlmnlmnlnlmsYREH也是的本征函数。在强磁场中，因为外磁场很强，可以略去自旋轨道耦合。波函数中自旋和空间部分可以分离变量。哈密顿量H的本征态可选为守恒量完全集（H,L2,Lz,Sz)的共同本征态。能量的本征值为：nlmBHHHˆˆˆ0当时，2zS2121lmnlnlmYR)53.7()](2[)ˆˆ(21210nlmnlnlmBmBeEHH2zS2121lmnlnlmYR当时，)63.7()](2[)ˆˆ(21210nlmnlnlmBmBeEHH讨论：（1）跃迁规则：01,01slmml（2）每条光谱线都分裂为三条，间隔相同LLLarmor频率：0BBL（3）不引入自旋也可解释正常塞曼效应。虽然能级，但对譜线分裂无影响。lmnlsmlmnlEE钠黄线的正常塞曼分裂加强磁场3p3s未加磁场ms=–1/2ms=+1/210-101-11897年普雷斯顿（T.Preston）发现：当磁场较弱时，谱线分裂的数目可以不是三条，间隔也不尽相同。在量子力学和电子自旋概念建立之前，一直不能解释。称为反常塞曼效应（复杂塞曼效应）。二、弱磁场中的反常塞曼效应§7.4两个角动量的耦合一、基本对易关系以表示体系的两个角动量算符，它们满足角动量的一般对易关系：21ˆ,ˆJJ)24.7(.ˆˆˆ)14.7(,ˆˆˆ222111JiJJJiJJ和是相互独立的，因而的分量和的分量都是可对易的：1ˆJ2ˆJ1ˆJ2ˆJ)34.7(0]ˆ,ˆ[21JJ以表示与之和：Jˆ1ˆJ2ˆJ21ˆˆˆJJJJˆ称为体系的总角动量，它满足角动量的一般对易关系：)44.7(ˆˆˆJiJJ此外，还有一些其他的对易关系：)54.7(0]ˆ,ˆ[0]ˆ,ˆ[0]ˆ,ˆ[0]ˆ,ˆ[0]ˆ,ˆ[22221222212JJJJJJJJJJzz二、无耦合与耦合表象以表示和的工同本征矢：11,mj21ˆJzJ1ˆ)64.7(.,,ˆ,,)1(,ˆ111111112111121mjmmjJmjjjmjJz)74.7(.,,ˆ,,)1(,ˆ222222222222222mjmmjJmjjjmjJz以表示和的工同本征矢：22,mj22ˆJzJ2ˆ因为相互对易，所以它们的共同本征矢：zzJJJJ222121ˆ,ˆ,ˆ,ˆ)84.7(,,,,,22112211mjmjmjmj组成正交归一的完全系。以这些本征矢作为基矢的表象称为无耦合表象，在这个表象中，都是对角矩阵。zzJJJJ222121ˆ,ˆ,ˆ,ˆ另一方面算符也是相互对易的，所以它们有共同本征矢,j和m表明和的对应本征值依次为和:22212ˆ,ˆ,ˆ,ˆJJJJzmjjj,,,212ˆJzJˆ2)1(jjm)94.7(,,,,,,ˆ,,,)1(,,,ˆ2121212212mjjjmmjjjJmjjjjjmjjjJz组成正交归一完全系，以它们为基矢的表象称为耦合表象。mjjj,,,21概括起来讲如下：1、无耦合表象基底：22112211mjmjmjmj维数：121221jj封闭关系：Imjmjmjmjjjmjjm11122122112211只对作用，zJJ121ˆ,ˆ11mj只对作用。zJJ222ˆ,ˆ22mj2211222112221122222112222111221112211211221121ˆ1ˆˆ1ˆmjmjmmjmjJmjmjjjmjmjJmjmjmmjmjJmjmjjjmjmjJzz2、耦合表象基底：不能区分角动量1和2了！mjjj21封闭关系：Imjjjmjjjjjjjjmmaxmin2121mjjjmmjjjJmjjjjjmjjjJmjjjjjmjjjJmjjjjjmjjjJz2121212212212222122212112121ˆ1ˆ1ˆ1ˆ3、无偶合表象基底与偶合表象基底的变换对于确定的j1和j2,在维子空间，))((121221jj)104.7(11122121221122112