最优控制第二章习题答案

1.求使得2()lnfxxx最小的x值。解：'1()20fxxx求得可能的极值点是12x21()2fxx恒小于0.所以使得2()lnfxxx最小的x值为12。2.求使221122()10124fXxxxx为极值的极值点x。解：12'12'12201201280xxfxxfxx由上述两个方程得出的可能极值点为***12,0,0TTXxx二阶导数矩阵为*20,1212,8Xf用塞尔维斯特判据来检验，有200,20,12det16012,8故*Xf为负定，在*0,0TX处，()fX为极大。3求.使222123121323()55484fXxxxxxxxxx为极值的极值点x。解：123'123'213'31210480244010840xxxfxxxfxxxfxxx由上述三个方程得出的可能极值点为****123,,0,0,0TTXxxx二阶导数矩阵为*10,4,84,2,48,4,10Xf用塞尔维斯特判据来检验，有10010,4det04,210,4,8det4,2,4808,4,10故*Xf为正定，在*0,0,0TX处，()fX为极小。4．求使2212min()45,fXxx且12()2360gXxx。解：作拉格朗日函数12221212(,)()()45(236)LxxfXgXxxxx极值的必要条件11221282010302360LxxLxxLxx联立求解上面三个方程可得307可能的极值点坐标为11514x，297x根据问题的性质可以判断极小值存在且是唯一的。2212min()45fXxx=9075.求原点到曲线23(1)0yx的距离为最小。解：设原点到曲线上任意一点(,)xy距离的平方为22(,)fxyxy，作拉格朗日函数极值的必要条件为22323(1)0220(1)0LxxxLyyyLyx联立求解上面三个方程可得1可能的极值点坐标为(,,)((2/3+1/35i),1/9(42-65i),-1)(,,)((2/3+1/35i),1/9(42-65i),-1)(,,)((2/3-1/35i),1/9(4265i),-1)(,,)((2/3-1/35i),1/9(4265i),-1)(,)((2/3+1/35i),1/9(42-65i))(,xyxyxyxyxyx经验证可得此极小点为)((2/3+1/35i),1/9(42-65i))y2223(,)(,)(,)(1)Lxyfxygxyxyyx6.求函数极值222123()fXxxx，若22123()1xxx解：作拉格朗日函数12322222123123(,,)()()[()1]LxxxfXgXxxxxxx极值的必要条件为1222211231211222221231221222231233322123()2()0()2()0()20()10LxxxxxxxLxxxxxxxLxxxxxxLxxx联立求解上面四个方程可得可能的极值点坐标为123123123(,,,)(2/4,1/2,1/2,0)(,,,)(2/4,1/2,1/2,0)(,,,)(1/2,0,0,)xxxxxxxxxii7.在第一象限内作椭球面2222221xyzabc的切平面，使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点的坐标。解：设切点为000(,,)xyz，则2222221xyzabc在000(,,)xyz处的法向量是000222222(,,)xyzabc所以切平面为000000222()()()0xyzxxyyzzabc设切平面在三坐标轴的截距为,,lmn00yz0令得：000000222()(0)(0)0xyzlxyzabc解得0lx同理可证00,mynz而000111*23616vlmnlmnxyz于是问题变成了16vxyz在2222221xyzabc条件极值问题。作拉格朗日函数2222221(,,)(1)6xyzLxyzxyzabc极值的必要条件为22222222212061206120610LxyzxaLyxzybLzxyzcLxyzabc联立求解上面四个方程可得222222xyzabc3cz3by3ax