高等数学(侯风波)第4章课件PPT

第一节柯西（Cauchy）中值定理与洛必达（L’Hospital）法则第二节拉格朗日（Lagrange）中值定理及函数的单调性*第四节曲率第三节函数的极值与最值第五节函数图形的描绘第四章一元函数微分学的应用第六节一元函数微分学在经济上的应用一、柯西中值定理二、洛必达法则第一节柯西（Cauchy）中值定理与洛必达（L’Hospital）法则定理1（柯西中值定理）如果函数)(xf与)(xF满足下列条件：(1)闭区间],[ba上连续；(2)在开区间),(ba内可导；(3))('xF在),(ba内的每一点均不为零，那么，在),(ba内至少有一点ξ，.f(b)f(a)f()F(b)F(a)F()使得一、柯西中值定理二、洛必达法则把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为00型或型不定式(也称为00型或型未定型)的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限方法．(1)0)(lim0xfxx，0)(lim0xgxx；(2))(xf与)(xg在0x的某邻域内（点0x可除外）可导，且0)('xg；定理2(洛必达法则)若(3)Axgxfxx)()(lim0(A为有限数，也可为或)，则Axgxfxgxfxxxx)()(lim)()(lim00.证由于我们要讨论的是函数在点0x的极限，而极限与函数在点0x的值无关，所以我们可补充)(xf与)(xg在0x的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响．令0)()(00xgxf，则)(xf与)(xg在点0x就连续了．在0x附近任取一点x，并应用柯西中值定理，得)()()()()()()()(00gfxgxgxfxfxgxf(ξ在x与0x之间).由于0xx时，0xξ，所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕．注：上述定理对x时的00未定型同样适用，对于0xx或x时的未定型，也有相应的法则．例1求123lim2331xxxxxx．解123lim2331xxxxxx=12333lim221xxxx=266lim1xxx=46=23．例2求xxxtancos1limπ．解xxxtancos1limπ=xxx2πcos1sinlim=0．例3求πarctan2lim1xxx．解πarctan2lim1xxx=22111limxxx=221limxxx=1．例4求)0(lnlimnxxnx.解01lim1limlnlim1nxnxnxnxnxxxx．例5求xxxxln11lim1．解这是未定型，通过“通分”将其化为00未定型．xxxxxxxxxxln)1()1(lnlimln11lim11xxxxxxx1ln1ln1lim1除未定型00与之外，还有00,1,0,,0等未定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就未定型再举一例．在使用洛必达法则时，应注意如下几点：(1)每次使用法则前，必须检验是否属于00或未定型，若不是未定型，就不能使用该法则；(2)如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；(3)当(x)g(x)flim不存在(不包括的情况)时，并不能断定g(x)f(x)lim也不存在，此时应使用其他方法求极限．xxxxln11lnlim121111lim21xxxx.2．把柯西中值定理中的“)(xf与)(xF在闭区间],[ba上连续”换成“f(x)与)(xF在开区间),(ba内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象）说明．思考题1．用洛必达法则求极限时应注意什么？第二节拉格朗日（Lagrange）中值定理及函数的单调性一、拉格朗日中值定理二、两个重要推论三、函数的单调性定理1如果函数)(xf满足下列条件：（1）在区间],[ba上连续；（2）在开区间),(ba内可导，那么，在),(ba内至少有一点ξ，使得))(()()(abfafbf.如果令abxaxΔ,，则上式为xξfxfxxfΔ)(')()Δ(,其中ξ介于x与xxΔ之间，如果将ξ表是成)10(Δxxξ，上式也可写成()()'()(01)fxxfxfxxx.一、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理几何演示推论1如果函数)(xf在区间),(ba内满足0)('xf，则在),(ba内Cxf)(（C为常数）．证设21,xx是区间),(ba内的任意两点，且21xx，于是在区间],[21xx上函数)(xf满足拉格朗日中值定理的条件，故得由于0)(ξf，所以0)()(12xfxf，即)()(21xfxf.212112()()()()(),fxfxfξxxxξx...........二、两个重要推论因为21,xx是),(ba内的任意两点，于是上式表明)(xf在),(ba内任意两点的值总是相等的，即)(xf在),(ba内是一个常数，证毕．推论2如果对),(ba内任意x，均有)()(xgxf，则在),(ba内)(xf与)(xg之间只差一个常数，即Cxgxf)()(（C为常数）．证令)()()(xgxfxF，则0)(xF，由推论1知，)(xF在),(ba内为一常数C，即),(,)()(baxCxgxf，证毕．如图观察区间],[ba上的单调递增函数)(xf的图像，当x增大时，曲线上任一点处的切线与x轴正向夹角为锐角，即0)(xf（个别点处()0fx），反过来是否也成立呢？我们有如下定理：定理2设函数)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，则有（1）如果在),(ba内0)(xf，则函数)(xf在],[ba上单调增加；xy0ab三、函数的单调性证设21,xx是],[ba上任意两点,且21xx，由拉格朗日中值定理有))()(()()(211212xxxxfxfxf.如果0)(xf，必有0)(f，又012xx，于是有0)()(12xfxf，即)()(12xfxf,由于21,xx)(21xx是],[ba上任意两点，所以函数)(xf在],[ba上单调增加．同理可证，如果0)(xf，则函数)(xf在],[ba上单调减少，证毕．（2）如果在),(ba内0)(xf，则函数)(xf在],[ba上单调减少．函数单调区间的确定：（1）求出使0)(xf的点（称这样的点为驻点），（2）用这些驻点将)(xf的定义域分成若干个子区间，再在每个子区间上判断函数的单调性.例讨论函数323)(xxxf的单调性．解因为323)(xxxf,所以)2(336)('2xxxxxf,令0)(xf得驻点：01x，22x,用它们将)(xf的定义区间),(分成三个部分区间:)0,(，)2,0(，),2(.当)0,(x时，有0)(xf；当)2,0(x时0)(xf;当),2(x时，0)(xf，因此，由定理2知，函数)(xf在区间)0,(与),2(上单调减少，在区间)2,0(单调增加．1．将拉格朗日中值定理中的条件)(xf“在闭区间],[ba上连续”换为“在开区),(ba内连续”后,定理是否还成立?试举例(只需画图)说明．罗尔(Rolle)中值定理若)(xf满足如下3条:(1)在闭区间],[ba上连续;(2)在开区间),(ba内可导;(3)在区间],[ba端点出的函数值相等,即)()(bfaf,则在开区间),(ba内至少存在一点,使得0)(f．思考题2．罗尔(Rolle)中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理．仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论,并回答所列问题．需回答的问题:(1)罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别?(2)若将罗尔中值定理中条件(1)换成“在开区间),(ba内连续”,定理的结论还成立吗?画图说明．(3)不求)4)(3)(2)(1()(xxxxxf的导数,说明方程)(xf有几个实根,并指出它们所在的区间．第三节函数的极值与最值一、函数的极值二、函数的最值定义设函数)(xf在0x的某邻域内有定义,且对此邻域内任一点)(0xxx,均有)()(0xfxf,则称)(0xf是函数)(xf的一个极大值;同样,如果对此邻域内任一点)(0xxx,均有)()(0xfxf,则称)(0xf是函数)(xf的一个极小值．函数的极大值与极小值统称为函数的极值．使函数取得极值的点0x,称为极值点．一、函数的极值定理1(极值的必要条件)设)(0xf在点0x处具有导数,且在点0x取得极值,那么0)(0xf．观察可导函数在取得极值处切线特征，可以看出,可导函数在取得极值处的切线是水平的,即极值点0x处,必有0)(0xf,于是有下面的定理．证只证)(0xf是极大值的情形．由假设,)(0xf存在,所以00000)()(lim)()(lim)(00xxxfxfxxxfxfxfxxxx,xyO因为)(0xf是)(xf的一个极大值,所以对于0x的某邻域内的一切x,只要0xx,恒有)()(0xfxf．因此,当0xx时,有0)()(00xxxfxf于是,有00)()(lim0xxxfxfxx≤0，当0xx时,0)()(00xxxfxf,所以00)()(lim0xxxfxfxx≥0,从而得到0)(0xf．类似可证)(0xf为极小值情形,证毕．函数极值点特征：对于可导函数由定理1知，可导函数)(xf的极值点必是)(xf的驻点．反过来,驻点却不一定是)(xf的极值点．如0x是函数3)(xxf的驻点，但不是其极值点．对于连续函数,它的极值点还可能是使导数不存在的点,称这种点为尖点．例如,xxf)(，但0x处导数不存在,但是，0x是它的极小值点．定理２（极值的第一充分条件）设)(xf在点0x连续，在点0x的某一空心邻域内可导．当x由小增大经过0x时，如果(1))(xf由正变负，那么0x是极大值点；(2))(xf由负变正，那么0x是极小值点；(3))(xf不变号，那么0x不是极值点证（１）由假设知，)(xf在0x的左侧邻近单调增加,即当0xx时，)()(0xfxf;在0x的右侧邻近单调减少，即当0xx时，)()(0xfxf.因此0x是)(xf的极大值点,)(0xf是)(xf的极大值．类似可以证明（2）．(3)由假设，当x在0x的某个邻域)(0xx内取值时，)0(0)(xf，所以，在这个邻域内是单调增加（减少）的，因此0x不是极值点，证毕．定理３（极值的第二充分条件）设)(xf在点0x处具有二阶导数,且0)(0xf,0)(xf．(1)如果0)(0xf,则)(xf在点0x取得极大值；(2)如果0)(0xf,则)(xf在点0x取得极小值．证（１）由于0)(0xf,所以0)(')('lim)(0000xxxfxfxfxx，所以，在0x的某邻域内必有0)()(00xxxfxf,)(0xx，因为0)(xf，所以有0)(0xxxf,)(0xx.从而知道，当0xx时，0)(xf；当0xx时，0)(xf,由定理２知)(0xf为)(xf的极大值．类似地可证明（２），证毕.例１求函数xxxxf96)(23的极值.解一因为96)(23xxxf的定义域为(,),且)3)(1(39123)(2xxxxxf,令0)(xf，得驻点11x,32x.在)1,(内，0)(xf，在)3,1(内，0)(xf,故由定理2知，4)1(f为函数)(xf的极大值．解二因为xxxxf96)(23的