高等数学(同济大学)课件上第1_2数列的极限

第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节机动目录上页下页返回结束数列的极限数学语言描述:r一、数列极限的定义引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.n如图所示,可知当n无限增大时,无限逼近S(刘徽割圆术),,0,N正整数当nN时,SAn用其内接正n边形的面积总有刘徽目录上页下页返回结束定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数a有下列关系:当nN时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:aa)(axan)(Nn即),(axn)(Nnaxnnlim或)(naxn1Nx2Nx则称该数列的极限为a,机动目录上页下页返回结束例如,,1,,43,32,21nn1nnxn)(1nnnxnn1)1()(1n,2,,8,4,2nnnx2)(n1)1(nnx趋势不定收敛发散机动目录上页下页返回结束例1.已知证明数列的极限为1.证:1nx1)1(nnn,0欲使即只要1n因此,取,]1[N则当Nn时,就有1)1(nnn故1)1(limlimnnxnnnn机动目录上页下页返回结束例2.已知证明证:0nx2)1(1n11n,)1,0(欲使只要,11n即n取,]11[N则当Nn时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn故也可取][1N也可由2)1(10nnx.11N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取11N机动目录上页下页返回结束例3.设,1q证明等比数列证:0nx欲使只要即亦即因此,取qNlnln1,则当nN时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0.机动目录上页下页返回结束23ba22abnabax二、收敛数列的性质证:用反证法.及且.ba取因,limaxnn故存在N1,从而2banx同理,因,limbxnn故存在N2,使当nN2时,有2banx1.收敛数列的极限唯一.使当nN1时,假设22abnabbxnbax223ab从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当nN时,,,max21NNN取故假设不真!nx满足的不等式机动目录上页下页返回结束例4.证明数列是发散的.证:用反证法.假设数列nx收敛,则有唯一极限a存在.取,21则存在N,2121axan但因nx交替取值1与－1,),(2121aa内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当nN时,有因此该数列发散.机动目录上页下页返回结束2.收敛数列一定有界.证:设取,1,N则当Nn时,从而有aaxna1取,,,,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.,1axn有数列机动目录上页下页返回结束3.收敛数列的保号性.若且时,有,)0(.)0(证:对a0,取推论:若数列从某项起)0(.)0((用反证法证明)机动目录上页下页返回结束*********************,axkn4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则,0,N当时,有现取正整数K,使于是当Kk时,有knN从而有由此证明.limaxknk*********************NNx机动目录上页下页返回结束三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，1lim2kkx发散!夹逼准则;单调有界准则;柯西审敛准则.则原数列一定发散.机动目录上页下页返回结束说明:azynnnnlimlim)2(1.夹逼准则(准则1)(P49)),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证:由条件(2),,0,1N当时,当时,令,,max21NNN则当Nn时,有由条件(1)nnnzxyaa即,axn故.limaxnn,2N机动目录上页下页返回结束例5.证明证:利用夹逼准则.nnnnn222121122nn且22limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由机动目录上页下页返回结束2.单调有界数列必有极限(准则2)(P52))(limMaxnn)(limmbxnn(证明略)ab机动目录上页下页返回结束例6.设证明数列极限存在.(P52～P54)证:利用二项式公式,有nnnx)1(11nn1!121!2)1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!)1()1(11)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n机动目录上页下页返回结束11nx)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211!)1(1nnnnn大大正),2,1(1nxxnn11)1(1nnnx又比较可知机动目录上页下页返回结束根据准则2可知数列nx记此极限为e,ennn)1(lim1e为无理数,其值为590457182818284.2e即有极限.原题目录上页下页返回结束11)1(1nnnx11又31213n*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)(P55)数列极限存在的充要条件是:,0存在正整数N,使当NnNm,时,mnxx证:“必要性”.设,limaxnn则时,有使当,2axn2axm因此mnxxaxnaxm“充分性”证明从略.有柯西目录上页下页返回结束内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;柯西准则机动目录上页下页返回结束思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知),2,1(21,111nxxxnn,求nnxlim时,下述作法是否正确?说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对!此处nnxlim机动目录上页下页返回结束作业P303(2),(3),4,6P564(1),(3)4(3)提示:可用数学归纳法证第三节目录上页下页返回结束故极限存在，备用题1.设)(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x,且求.limnnx解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1∴数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.设证:显然,1nnxx证明下述数列有极限.即单调增,又1(1))1()1(11kaa存在“拆项相消”法