高等数学(同济版)复习资料

第一章函数与极限第一节映射与函数一、集合(一).集合的相关概念1.集合：集合是数学中一个不加定义的原始概念，一般是这样描述的：描述性定义：具有某种特定性质的事物的总体称为集合,用大写字母A，B，C，┄表示；组成集合的事物称为元素，用小写字母a，b，c，┄表示.2.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.3.几何与元素的关系：元素a属于集合A,记作Aa；元素a不属于集合A,记作Aa或Aa.4.集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合；无限集：不是有限集的集合.5.集合的表示法：(1).列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合niinaaaaA121}{},,,{.(2).描述法：xxM{所具有的特征}.例：}01{2xxM表示方程012x的解集.6.几种常用的数集：自然数集：}{},,,2,1,0{nnN；正整数集：},,,2,1{nN；整数集：}/{NxNxxZ；有理数集：,Nq,pqpQZp与q互质；实数集合：xR{x为有理数或无理数}.(二).集合之间的关系及运算1.集合之间的关系包含关系：设有集合A和B，若Ax必有Bx，则称A是B的子集,或称B包含A,记作BA或AB.相等关系：若BA且AB，则称A与B相等，记作BA.1/33例如,ZN，QZ，RQ.下列关系成立:(1).AA；AA；A.(2).BA且CBCA.2.集合之间的运算：对集合A与B，有下列几种基本运算并集：AxBA{或Bx}；交集：AxBA{且Bx}；差集：AxBA{\且Bx}；余集(补集)：IxAIAc{\且Ax}，其中I称为全集，IA；直积：ByAxyxBA,),((笛卡尔直积).特例：2RRR为平面上的全体点集.(三).区间和邻域1.有限区间bxaxba),(;bxaxba],(；bxaxba),[;bxaxba],[.2.无限区间：axxa),[；bxxb],(；Rxx),(.3.邻域点a的邻域:axxaxaxaU),(；点a的去心邻域:axxaU0),(；点a的左邻域:),(aa；点a的右邻域:),(aa.其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.4.区间的直积：],[],,[),(],[],[dcybaxyxdcba.二、实数集及其完备性1.实数集的性质：(1).封闭性：任意两个实数进行加、减、乘、除(分母不为零)运算后，其结果仍然是实数.2/33(2).有序性：任意两个实数a和b，必满足且仅满足下列三种关系之一：ab，ab，a=b.且若ab，bc，则ac.(3).稠密性：任意两个不相等的实数之间仍有实数.(4).完备性：实数集与数轴上的点存在一一对应的关系，即任意一个实数都对应数轴上唯一的一个点；反之,数轴上任意一点也对应唯一的一个实数.2.实数集的确界存在定理(1).定义1.设RA，且A，若RL，使得Ax，都有Lx(或Lx)，则称数集A有上界（或下界），并称L是A的一个上界（或下界）.若数集A既有上界又有下界，则称A有界，否则称A无界.(2).定义2.设RA，且A，若R（或R）满足下列条件：①.Ax，有x(或)x;②.0，Ax0,使0x(或0x)，则称为数集A的上确界(或为数集A的下确界)，记为Asup(或Ainf)注：1°.上确界是集合的上界中最小的，下确界是集合的下界中最大的.2°.数集的确界和它的最值是区别的，最值属于集合，而确界不一定属于集合.(3).确界存在定理:有上界(或下界)的非空实数集必有上确界(或下确界).三、映射1.映射：设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应法则f,使得Xx，有唯一确定的Yy与之对应，则称f为从X到Y的映射，.:YXf元素y称为元素x在映射f下的像,记作).(xfy元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域，记作fD，即XDf;集合X中的元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作fR或)(Xf，即YXxxfXfRf}|)({)(.注：1°.映射的三要素：定义域,对应法则,值域.2°.元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.2.映射的分类：满射：若YXf)(，则称f为满射.单射：若2121,,xxXxx，有)()(21xfxf，则称f为单射.3/33双射：若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.注：映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的惯用名称，例如:映射f：X(≠)Y(数集)称为X上的泛函;映射f：X(≠)X(数集)称为X上的变换;映射f：X(数集或其子集)R称为X上的函数.3.逆映射：对单射f：XY，称映射g：RfX为f的逆映射，记作f，其定义域ffRD，值域为XRf.4.复合映射：称映射g：XY1，f：Y2Z(21YY)确定的从X到Z的映射为映射g和f构成的复合映射，记作ZXgf:，即)]([)(xgfxgf.注：g的值域gR必须包含在f的定义域fD，即fgDR.四、函数1.函数的概念:设数集RD，称映射RDf:为定义在D上的函数，记为.),(Dxxfy因映自定值域：DxxfyyDfRf),()(变变义函数图形:DxxfyyxC),(),(.量射量域对应规律的表示方法:解析法（公式法）、图象法、列表法.注：记号f和法则f(x)的含义不同，f表示自变量x和因变量y之间的对应法则，而f(x)表示与自变量x对应的函数值，在不至于混淆的情况下，习惯上仍用f(x)表示函数.2.函数的几种数学表达式:(1).显函数：)(xfy.如：]1,1[,12xxy.(2).隐函数：0),(yxf.如：0,122yyx.(3).参数方程表示的函数：Ittytx),(),(.如],0[,sin,costtytx.(4).分段函数：在定义域的不同子集上用不同的表达式.例1.符号函数0,10,00,1sgnxxxxy，定义域:),(D，4/33值域:}1,0,1{fR，对任何x，有||sgnxxx.例2.绝对值函数0,0,||xxxxxy.例3.取整函数nxy][，当1nxn，Zn.例如：075，1]2[，3][，4]5.3[.例4.狄利克雷函数QxQxxf,0,1)(.3.函数的几种特性:设函数Dxxfy,)(，且有区间DI.(1).有界性：Ix，若0L，使得Lxf)((或Lxf)()，则称)(xf在I上有上界(或下界)，并称L为)(xf在I上的一个上界(或下界).Ix，若0M，使得Mxf|)(|成立，则称)(xf在I上有界.(2).单调性：Ixx21,，当21xx，总有)()(21xfxf))()((21xfxf，则称)(xf在I上是单调增加(单调减少)的.单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数.(3).奇偶性：设函数)(xf的定义域D关于原点对称，Dx，若)()(xfxf恒成立，则称)(xf为偶函数，若)()(xfxf恒成立，则称)(xf为奇函数.注：奇函数的图形关于原点对称；偶函数的图形关于y轴对称.(4).周期性：Dx，若0l，使得Dlx，都有)()(xflxf，则称)(xf为周期函数，称l为周期(一般指最小正周期).注:周期函数不一定存在最小正周期.例如：常量函数Cxf)(；狄利克雷函数QxQxxf,0,1)(.4.反函数与复合函数：相对于逆映射和复合映射的概念，有反函数和复合函数的概念.(1).反函数的概念及性质定义：若函数)(:DfDf为单射,则存在一新映射DDff)(:1使)(Dfy，有xyf)(1，其中yxf)(，称此映射1f为f的反函数.习惯上,函数Dxxfy,)(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy.5/33性质:①.y＝f(x)单调递增(或递减)，其反函数)(1xfy存在,且也单调递增(或递减).②.函数y＝f(x)与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy对称.(2).复合函数：设有函数链,),(fDuufy与,),(Dxxgu且fgDR，则称函数)()]([Dxxgfy为由)(xgu与)(ufy确定的复合函数，记作))((][xgf)x(gf,其中u称为中间变量，有时也称)(xgu为内函数，)(ufy为外函数.注：构成复合函数的条件fgDR不可少.5.初等函数(1).基本初等函数:反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数.(2).初等函数:由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.否则称为非初等函数.注：符号函数、取整函数以及狄利克雷函数都是非初等函数.第二节数列的极限一、数列极限的定义1.数列：称自变量取正整数的函数为数列,记作)(nfxn或}{nx，nx称为通项(一般项).2.数列极限(1).引例(刘徽割圆术)：对给定的圆，用其内接内接正126n边形的面积nA逼近其面积.容易得到内接内接正126n边形的面积序列：,,,,21nAAA，当n无限增大时,nA无限接近S.S称为数列}{nA的极限.对于数列，我们关心的主要问题是：当n无限增大时，nx的变化趋势如何？例如：①．数列nn)1(1随着n的无限增大而无限接近常数1.②．数列})1{(n随着n的无限增大没有确定的变化趋势.③．数列}2{n随着n的无限增大而无限增大.但是，仅仅凭直觉观察得到极限和用“无限增大”、“无限接近”来描述极限是远远不够的，6/33例如：我们不能根据观察而判断出数列nn11的极限，因此，需要用精确、定量的数学语言来定义极限.下面以数列nn)1(1为例来介绍数列极限.我们知道点nx与点a之间的距离axn是刻画数nx与a接近程度的一个度量.当n无限增大时，数列nn)1(1无限接近1，也就是说当n无限增大时，nnxnn11)1(11可以无限的变小，例如如果要求10111nxn，那么只要10n，即从数列第11项起，后面的所有项与1的距离都小于1/10;如果要求310111nxn，那么只要1000n，即从数列第1001项起，后面的所有项与1的距离都小于1/103;上述过程实际上说明了如下事实：无论要求nx与1多么接近，即1nx多么小，只要n足够大，就可以使1nx变得那么小，n足够大的程度由1nx小的程度来决定.为了刻画nx与1的接近程度，我们引入任意给定的正数，那么上述事实可描述成：不论给了多么小的的正数，总存在一个正整数N(比如上述过程中的1N)，当Nn时，总有1nx，数1就叫做数列}{nx当n时的极限.将这个例子中的思想方法和表述方式用于一般数列，就得到了如下数列极限的定义：(2).数列极限：若数列}{nx与常数a满足：0，NN，使得Nn时，总有axn，则称该数列}{nx以a为极限，或称数列}{nx收敛于a，记作axnnlim或)(naxn.数列收敛：axnnlim0，NN，使得Nn时，总有axn.数列发散：对任意常数a，若00，NN，Nn0，使得00axn，则数列}{nx发散.数列收敛的几何意义：对于点a的任意邻域),(aU，总存在一个项数N，使得数列}{nx中自第1