高等数学--4.5曲线凸性、拐点与渐近线

信息学院罗捍东1定义：设函数y=f(x)在(a，b)内可导，如果曲线y=f(x)上任意一点的切线都在曲线的上方，则称该曲线为上凸的（凸弧），称区间(a，b)为该曲线的上凸区间；如果曲线y=f(x)上任意一点的切线都在曲线的下方，则称该曲线为下凸的（凹弧），称区间(a，b)为该曲线的下凸区间或凹区间。规范的定义：如果函数y=f(x)在(a，b)内任意两点x1，x2都满足：1212()()()22xxfxfxf则称该曲线为上凸。如果函数y=f(x)在(a，b)内任意两点x1，x2都满足：1212()()()22xxfxfxf则称该曲线为下凸。信息学院罗捍东2xyo)(xfyxyo)(xfyabAB递增)(xfabBA0y递减)(xf0y定理1：设函数y=f(x)在(a，b)内二阶可导,则有(1)若在(a，b)内有，曲线y=f(x)在(a，b)内下凸。(2)若在(a，b)内有，曲线y=f(x)在(a，b)内上凸。()0fx()0fx信息学院罗捍东3例1：.3的凹凸性判断曲线xy解：,32xy,6xy时，当0x,0y为凸的；在曲线]0,(时，当0x,0y为凹的；在曲线),0[.)0,0(点是曲线由凸变凹的分界点注意到,信息学院罗捍东4连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.定理2如果)(xf在),(00xx内存在二阶导数,则点)(,00xfx是拐点的必要条件是0)(0xf.定义：注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.证：,)(二阶可导xf,)(存在且连续xf,))(,(00是拐点又xfx,])([)(0两边变号在则xxfxf0()0.fx由可导函数取极值的条件.,)(0取得极值在xxf信息学院罗捍东500(),()0,fxxfx设函数在的邻域内二阶可导且;))(,(,)()1(000即为拐点点变号两近旁xfxxfx.))(,(,)()2(000不是拐点点不变号两近旁xfxxfx拐点的求法信息学院罗捍东6例2：.14334凹、凸的区间的拐点及求曲线xxy解：321212,yxx).32(36xxy,0y令.32,021xx得x)0,(),32()32,0(032)(xf)(xf00凹的凸的凹的拐点拐点)1,0()2711,32(信息学院罗捍东7.)())(,(,)(000的拐点是连续曲线也可能点不存在若xfyxfxxf注意:曲线的上凸区间为，下凸区间为和，拐点为（0，1）和。2[0,]32[,)3(,0])2711,32(信息学院罗捍东8例3：.3的拐点求曲线xy解：,0时当x,3132xy5329,yx.,,0均不存在是不可导点yyx,0,)0,(y内但在;]0,(上是凹的曲线在,0,),0(y内在.),0[上是凸的曲线在.)0,0(3的拐点是曲线点xy信息学院罗捍东9考研题欣赏（2004年3，4）设，则(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点。1()()fxxx(B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。(C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点。答案：(C)信息学院罗捍东104.4.2曲线的渐近线定义:1.垂直渐近线)(轴的渐近线垂直于x.)()(lim)(lim000的一条铅直渐近线就是那么或如果xfyxxxfxfxxxx(),,().yfxPPLLyfx当曲线上的一动点沿着曲线移向无穷远点时如果点到某定直线的距离趋向于零那么直线就称为曲线的一条渐近线信息学院罗捍东11例1:,)3)(2(1xxy两条有垂直渐近线:.3,2xx解：22lim()1lim(2)(3)xxfxxx331lim()lim(2)(3)xxfxxx信息学院罗捍东122.水平渐近线)(轴的渐近线平行于x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线就是那么为常数或如果xfybybbxfbxfxx例2:()arctanfxx有两条水平渐近线:.2,2yylim()xfxlim()limarctan2xxfxx解：limarctan2xx信息学院罗捍东133.斜渐近线.)(),(0)]()([lim0)]()([lim的一条斜渐近线就是那么为常数或如果xfybaxybabaxxfbaxxfxx斜渐近线求法:()lim,xfxaxlim[()].xfxaxb.)(的一条斜渐近线就是曲线那么xfybaxy信息学院罗捍东14注意:;)(lim)1(不存在如果xxfx,])([lim,)(lim)2(不存在但存在axxfaxxfxx.)(不存在斜渐近线可以断定xfy信息学院罗捍东15112(2)(3)lim()lim1xxxxfxx.1是曲线的铅直渐近线xxxfx)(lim又)1()3)(2(2limxxxxx,222321()()lim[]xxxxx412lim4,1xxx例3：.1)3)(2(2)(的渐近线求xxxxf解：信息学院罗捍东16的两条渐近线如图1)3)(2(2)(xxxxf.42是曲线的一条斜渐近线xy信息学院罗捍东17考研题欣赏（2000年3，4）曲线（A）仅有水平渐近线。21xyxe（B）仅有铅直渐近线。（C）既有铅直又有水平渐近线。（D）既有铅直又有斜渐近线。答案：(D)信息学院罗捍东18考研题欣赏（2003年3,4）曲线的单调区间、极值、渐近线。21arctanxyxe信息学院罗捍东194.4.3函数作图利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步确定函数)(xfy的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的一阶导数()fx和二阶导数()fx;求出方程()0fx和()0fx在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.信息学院罗捍东20第三步确定在这些部分区间内()fx和()fx的符号，并由此确定函数第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;第五步描出与方程()0fx和()0fx的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形.信息学院罗捍东21例1：.2)1(4)(2的图形作函数xxxf解：定义域为x≠0。非奇非偶函数,且无对称性.,)2(4)(3xxxf.)3(8)(4xxxf,0)(xf令,2x得驻点,0)(xf令.3x得特殊点]2)1(4[lim)(lim2xxxfxx,2;2y得水平渐近线信息学院罗捍东22]2)1(4[lim)(lim200xxxfxx,.0x得铅直渐近线列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:x)3,(),0()2,3(3)0,2()(xf)(xf00)(xf20不存在拐点极值点间断点3)926,3(信息学院罗捍东23:补充点);0,31(),0,31(),2,1(A),6,1(B).1,2(C作图xyo232111236ABC信息学院罗捍东242)1(4)(2xxxf信息学院罗捍东25例2：.21)(22的图形作函数xex解：偶函数,图形关于y轴对称.,2)(22xexx,0)(x令,0x得驻点,0)(x令.1,1xx得特殊点10()0.4.2x且.2)1)(1()(22xexxx2221lim)(limxxxex,0.0y得水平渐近线定义域为R。信息学院罗捍东26列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:x)1,(),1()0,1(1)1,0()(x)(x00)(x01拐点极大值21)21,1(e0拐点)21,1(exyo1121信息学院罗捍东272221)(xex