高等数学-习题答案-方明亮-第一章

1习题1-11．求下列函数的自然定义域：（1）2121yxx；解：依题意有21020xx，则函数定义域()|2x1Dxxx且．（2）221arccos36xyxx；解：依题意有2211360xxx，则函数定义域()Dx．（3）2ln(32)yxx；解：依题意有2320xx，则函数定义域()|12Dxxx．（4）312xxy；解：依题意有30xx，则函数定义域()|x0,1Dxxx且．（5）1sin1,121;xyxx,　　　，　　　解：依题意有定义域()|Dxxx．（6）1arctan3yxx.解：依题意有030xx，则函数定义域()|3x0Dxxx且．2．已知()fx定义域为[0,1]，求2(),(sin),(),()()fxfxfxafxafxa(0a)的定义域．解：因为()fx定义域为[0,1]，所以当201x时，得函数2()fx的定义域为[1,1]；当0sin1x时，得函数(sin)fx定义域为[2π,(21)π]kk；当01xa时，得函数()fxa定义域为[,1]aa；当0101xaxa时，得函数()()fxafxa定义域为：（1）若12a，,1xaa；（2）若12a，12x；（3）若12a，x．3．设2221()1,2axfxxaaxx其中0,a求函数值(2),(1)faf．解：因为2221()12axfxxaaxx，则2211(2)142afaaaa，20,1,11(1)12,0111aafaa．24．设1||1,()0||1,()21||1.xxfxxgxx，求(())fgx与(())gfx，并做出函数图形．解：121(())021121xxxfgx，即10(())0010xfgxxx，1012||1(())2||12||1xgfxxx，即2||1(())1||11||12xgfxxx，函数图形略．5．设1,0,()1,0,xxfxx试证：2,1,[()]1,1.xxffxx证明：1(),()0[()]1,()0fxfxffxfx，即2,1,[()]1,1xxffxx，得证．6．下列各组函数中，()fx与()gx是否是同一函数？为什么？（1）22()ln3,()ln33fxxxgxx；不是，因为定义域和对应法则都不相同．（2）33532()2,()2fxxxgxxx；是．（3）22()2,()sectanfxgxxx；不是，因为对应法则不同．（4）2()2lg,()lgfxxgxx；不是，因为定义域不同．7．确定下列函数在给定区间内的单调性：（1）3lnyxx，(0,)x；解：当(0,)x时，函数13yx单调递增，2lnyx也是单调递增，则12yyy在(0,)内也是递增的．（2）1xyx，(,1)x．解：(1)111111xxyxxx，当(,1)x时，函数11yx单调递增，则21111yyx是单调递减的，故原函数1xyx是单调递减的．8.判定下列函数的奇偶性．（1）2lg(1)yxx；解：因为2212()lg(1)lg(1)lg(1)()fxxxxxxxfx，所以2lg(1)yxx是奇函数．（2）0y；解：因为()0()fxfx，所以0y是偶函数．（3）22cossin1yxxx；解：因为2()2cossin1fxxxx，()()()()fxfxfxfx且，所以322cossin1yxxx既非奇函数，又非偶函数．（4）2xxaay.解：因为()()2xxaafxfx，所以函数2xxaay是偶函数．9．设()fx是定义在[,]ll上的任意函数，证明：（1）()()fxfx是偶函数，()()fxfx是奇函数；（2）()fx可表示成偶函数与奇函数之和的形式.证明：（1）令()()(),()()()gxfxfxhxfxfx，则()()()(),()()()()gxfxfxgxhxfxfxhx，所以()()fxfx是偶函数，()()fxfx是奇函数．（2）任意函数()()()()()22fxfxfxfxfx，由（1）可知()()2fxfx是偶函数，()()2fxfx是奇函数，所以命题得证．10．证明：函数在区间I上有界的充分与必要条件是：函数在I上既有上界又有下界.证明：（必要性）若函数()fx在区间I上有界，则存在正数M，使得xI，都有()fxM成立，显然()MfxM，即证得函数()fx在区间I上既有上界又有下界（充分性）设函数()fx在区间I上既有上界2M，又有下界1M，即有12()()fxMfxM且，取12max{,}MMM，则有()fxM，即函数()fx在区间I上有界．11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期：（1）|sin|yx；周期函数，周期为π．（2）1sinπyx；周期函数，周期为2．（3）tanyxx；不是周期函数．（4）2cosyx.周期函数，周期为π．12．求下列函数的反函数：（1）331xxy；解：依题意，31xyy，则3log1yxy，所以反函数为13()log,(,0)(1,)1xfxxx．（2）()axbyadbccxd；解：依题意，bdyxcya，则反函数1()()bdxfxadbccxa．4（3）2lg1yxx；解：依题意，1(1010)2yyx，所以反函数11()(1010),2xxfxxR．（4）ππ3cos2,44yxx．解：依题意，arccos32yx，所以反函数1arccos3(),[0,3]2xfxx．13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x和2x的函数值：（1）212e,1,0,2uyuxxx＋；（2）2121,e1,1,1,1vyuuvxxx．解：（1）215()e,(0),(2)xyfxfefe（2）12()(e1)1xyfx，42(0)22fee，(1)1f．14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r，高为H．当倒进溶液后液面的高度为h时，溶液的体积为V．试把h表示为V的函数，并指出其定义区间．解：依题意有2πVrh，则22,[0,π]πVhVrHr．15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用．解：依题意有0.64,04.5()4.50.64(4.5)3.2,4.5xxfxxx，所以(3.5)2.24(4.5)2.88(5.5)6.08fff元，元，元．习题1-21．设21(1,2,3,)31nnann，（1）求110100222||,||,||333aaa的值；（2）求N，使当nN时，不等式42||103na成立；（3）求N，使当nN时，不等式2||3na成立．解：(1)12321||||,34312a1022121||||,331393a100220121||||33013903a．（2）要使42||10,3na即4113310（n+1），则只要9997,9n取N＝99971110,9故当n1110时，不等式42||103na成立．5（3）要使2||3na成立，13,9n取139N，那么当nN时，2||3na成立.2．根据数列极限的定义证明：（1）1lim0!nn；（2）23lim1nnn．解：（1）0，要使111|0|!!nnn＝，只要取1N，所以，对任意0，存在1N，当nN时，总有1|0|!n，则1lim0!nn.(2)0,要使222332|1|2(3)nnnnnn,即32n,只要取32N,所以,对任意的0,存在32N,当nN,总有23|1|nn,则23lim1nnn.3．若limnnxa，证明lim||||nnxa．并举例说明：如果数列||nx有极限，但数列nx未必有极限．证明:因为limnnxa,所以0,1N,当1nN时,有||nxa.不妨假设a0,由收敛数列的保号性可知:2N,当2nN时,有0nx,取12max,NNN,则对0,N,当nN时,有||||||||nnxaxa.故lim||||nnxa.同理可证0a时,lim||||nnxa成立.反之,如果数列||nx有极限,但数列||nx未必有极限.如：数列1nnx,||1nx，显然lim||1nnx,但limnnx不存在．4．设数列nx有界，又lim0nny．证明：lim0nnnxy．证明:依题意,存在M0,对一切n都有||nxM，又lim0nny,对0,存在N,当nN时,|0|ny,因为对上述N,当nN时,|0|||||nnnnnxyxyMyM,由的任意性,则lim0nnnxy．5．设数列nx的一般项1(3)πcos2nnxn，求limnnx．解:因为1lim0xn,(3)π|cos|12n,所以1(3)πlimcos02xnn.6．对于数列nx，若21()kxAk，2()kxAk，证明：()nxAn．证明:由于21limkkxA,所以,0,10N,当1kN时，有21||kxA,同理,0,20N,当2kN时,有2||kxA．取N=max12,NN,0,当nN时,||nxA成立,故()nxAn．6习题1-31．当1x时，234yx．问等于多少，使当|1|x时，|4|0.01y？解：令1|1|2x，则35|1|22x，要使225|4||34||1||1||1||1|0.012yxxxxx，只要|1|0.004x，所以取0.004，使当|1|x时，|4|0.01y成立．2．当x时，222123xyx．问X等于多少，使当||xX时，|2|0.001y？解：要使222217|2||2|3|3|xyxx0.001,只要2|3|7000x,即237000x.因此,只要||7003x就可以了,所以取7003X．3．根据函数极限的定义证明：（1）3lim(21)5xx；（2）35lim31xxx；（3）224lim42xxx；（4）