高等数学-习题答案-方明亮-第七章

高等数学方明亮版第七章习题7-11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）(,)0,0xyxy；（2）22(,)14xyxy；（3）2(,)xyyx；（4）2222(,)(1)1(2)4xyxyxy且.解（1）集合是开集，无界集；边界为{(,)0xyx或0}y.（2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为2222{(,)1}{(,)4}xyxyxyxy.（3）集合是开集，区域，无界集；边界为2{(,)}xyyx.（4）集合是闭集，有界集；边界为2222{(,)(1)1}{(,)(2)4}xyxyxyxy2.已知函数(,)vfuvu，试求(,)fxyxy.解()(,)xyfxyxyxy.3.设44(,)2fxyxyxy，证明：2(,)(,)ftxtytfxy.解4422442244(,)222ftxtytxtytxytxytxytxyxy2(,)tfxy.4.设22xyyfxx(0)x，求()fx.解由于222211yxyxyfxx，则21fxx.5.求下列各函数的定义域：（1）2222xyzxy；（2）ln()arcsinyzyxx；（3）ln()zxy；（4）22221xyzab；（5）zxy；（6）22arccoszuxy.解（1）定义域为(,)xyyx；（2）定义域为(,)xyxyx；（3）定义域为(,)0xyxy，即第一、三象限（不含坐标轴）；（4）定义域为2222(,)1xyxyab；（5）定义域为2(,)0,0,xyxyxy；（6）定义域为22222(,,)0,0xyzxyzxy.6.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)limxyxxyyxy；（2）2222(,)(0,0)1coslimln(1)xyxyxy；（3）22(,)(0,0)1lim()sinxyxyxy；（4）(,)(2,0)sin()limxyxyy；（5）1(,)(0,1)lim(1)xxyxy；（6）22(,)(,)lim()xyxyxye.解：（1）22(,)(2,0)4lim(2,0)22xyxxyyfxy；（2）2222(,)(0,0)0011cos1cos12limlimlimln(1)ln(1)2xyuuuxyuxyuu；（3）因为22(,)(0,0)lim()0xyxy，且1sin1xy有界，故22(,)(0,0)1lim()sin0xyxyxy；（4）(,)(2,0)(,)(2,0)sin()sin()limlim212xyxyxyxyxyxy；（5）111(,)(0,1)(,)(0,1)lim(1)lim(1)yxyxxyxyxyxyee；（6）当0xN，0yN时，有222()()0xyxyxyxyee，而22(,)(,)22limlimlimlim0xyuuuxyuuuxyuueeee按夹逼定理得22(,)(,)lim()0.xyxyxye7.证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)limxyxyxy；（2）设2224222,0,(,)0,0,xyxyxyfxyxy(,)(0,0)lim(,)xyfxy.证明（1）当(,)xy沿直线ykx趋于(0,0)时极限(,)(0,0)01limlim1xyxykxxyxkxkxyxkxk与k有关，上述极限不存在.（2）当(,)xy沿直线yx和曲线2yx趋于(0,0)有2242422(,)(0,0)00limlimlim01xyxxyxyxxyxxxxyxxx，2222442444(,)(0,0)001limlimlim22xyxxyxyxxyxxxxyxxx，故函数(,)fxy在点(0,0)处二重极限不存在.8.指出下列函数在何处间断：（1）22ln()zxy；（2）212zyx.解（1）函数在(0,0)处无定义，故该点为函数22ln()zxy的间断点；（2）函数在抛物线22yx上无定义，故22yx上的点均为函数212zyx的间断点.9.用二重极限定义证明：22(,)(0,0)lim0xyxyxy.证2222222222221110222xyxyxyxyxyxyxy(,)Pxy，其中22||xyOP，于是，0，20；当0时，有220xyxy成立，由二重极限定义知22(,)(0,0)lim0xyxyxy.10.设(,)sinfxyx，证明(,)fxy是2R上的连续函数.证设2000(,)PxyR.0，由于sinx在0x处连续，故0，当0||xx时，有0|sinsin|xx.以上述作0P的邻域0(,)UP，则当0(,)(,)PxyUP时，显然00||(,)xxPP，从而000|(,)(,)||sinsin|fxyfxyxx，即(,)sinfxyx在点000(,)Pxy连续.由0P的任意性知，sinx作为x、y的二元函数在2R上连续.习题7－21.设(,)zfxy在00(,)xy处的偏导数分别为00(,)xfxyA，00(,)yfxyB，问下列极限是什么？（1）00000(,)(,)limhfxhyfxyh；（2）00000(,)(,)limhfxyfxyhh；（3）00000(,2)(,)limhfxyhfxyh；（4）00000(,)(,)limhfxhyfxhyh.解（1）0000000(,)(,)lim(,)xhfxhyfxyzxyAh；（2）000000000000(,)(,)(,)(,)limlim(,)yhhfxyfxyhfxyhfxyzxyBhh；（3）0000000000(,2)(,)(,2)(,)limlim222hhfxyhfxyfxyhfxyBhh；（4）00000(,)(,)limhfxhyfxhyh0000000000000000000000000000(,)(,)(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)limlim2.hhhhfxhyfxyfxyfxhyhfxhyfxyfxhyfxyhfxhyfxyfxhyfxyhhAAA2.求下列函数的一阶偏导数：（1）xzxyy；（2）lntanxzy；（3）exyz；（4）22xyzxy；（5）222ln()zxxy；（6）ln()zxy；（7）sec()zxy；（8）(1)yzxy；（9）arctan()zuxy（10）zxuy.解（1）1zyxy，2zxxyy；（2）12211tanseccotseczxxxxxyyyyyy，12222tanseccotseczxxxxxxyyyyyyy；（3）xyxyzeyyex，xyxyzexxey；（4）2222222222()2()1zxxyxyyxyxyyyxxyyxxy，2222222222()2()1zyxyxyxxyxyxxyxyxyxy；（5）232222222222ln()22ln()zxxxxyxxxyxxyxy，22222222zxxyyyxyxy；（6）1112ln()2ln()zyxxyxyxxy，1112ln()2ln()zxyxyxyyxy；（7）tan()sec()tan()sec()zxyxyyyxyxyx，tan()sec()tan()sec()zxyxyxxxyxyy；（8）121(1)(1)yyzyxyyyxyx，ln(1)(1)ln(1)1yxyzxyeyxyxyyyxy；（9）11221()()1()1()zzzzuzxyzxyxxyxy，11221()()(1)1()1()zzzzuzxyzxyyxyxy，221()ln()()ln()1()1()zzzzuxyxyxyxyzxyxy；（10）111zzuxzxzxyyyy，12zzuxxzxzyyyyy，lnzuxxyyy.3.设(,)ln2yfxyxx，求(1,0)xf，(1,0)yf.解法一由于(,0)lnfxx，所以1(,0)xfxx，(1,0)1xf；由于(1,)ln12yfy，所以11(1,)212yfyy，1(1,0)2yf.解法二21(,)122xyfxyyxxx，11(,)22yfxyyxxx，10(1,0)110212xf，111(1,0)02212yf.4.设(,)(1)arcsinxfxyxyy，求(,1)xfx.解法一由于(,1)(11)arcsin1xfxxx，(,1)()1xfxx.解法二111(,)112xyfxyyxxyy，(,1)1xfx.5.设2(,)xtyfxyedt，求(,)xfxy，(,)yfxy.解2(,)xxfxye，2(,)yfxye.6.设yxzxyxe，证明zzxyxyzxy.解由于21yyyxxxzyyyexeyexxx，1yyxxzxxexeyx，所以1()yyyyxxxxzzyxyxyeyxexyexyxyyexyxyxxyxexyxyz.7.（1）22,44xyzy在点(2,4,5)处的切线与x轴正向所成的倾角是多少？（2）221,1zxyx在点(1,1,3)处的切线与y轴正向所成的倾角是多少？解（1）按偏导数的几何意义，(2,4)xz就是曲线在点(2,4,5)处的切线对于x轴正向所成倾角的斜率，而21(2,4)12xxzx，即tan1k，于是倾角4.（2）按偏导数的几何意义，(1,1)yz就是曲线在点(1,1,3)处的切线对于y轴正向所成倾角的斜率，而2121(1,1)3211yyyzy，即1tan3k，于是倾角6.8.求下列函数的二阶偏函数：（1）已知33sinsinzxyyx，求2zxy；（2）已知lnxzy，求2zxy；（3）已知22ln()zxxy，求22zx和2zxy；（4）arctanyzx求22zx、22zy、2zxy和2zyx.解（1）233sincoszxyyxx，2223cos3coszxyyxxy；（2）lnln1lnlnxxzyyyyxxx