高等数学-习题答案-方明亮-第八章

高等数学方明亮版习题8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy面上的闭区域D，薄板上分布有面密度为(,)xy的电荷，且(,)xy在D上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q．解用一组曲线将D分成n个小闭区域i，其面积也记为(1,2,,)iin.任取一点(,)iii,则i上分布的电量(,)iiiQ.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为01lim(,)(,)d,niiiiDQxy其中1max{iin的直径}．2.设12231()dDIxy其中1{(,)11,22}Dxyxy；又22232()dDIxy其中2{(,)01,02}Dxyxy．试利用二重积分的几何意义说明1I与2I之间的关系．解由二重积分的几何意义知，1I表示底为1D、顶为曲面223()zxy的曲顶柱体1的体积；2I表示底为2D、顶为曲面223()zxy的曲顶柱体2的体积．由于位于1D上方的曲面223()zxy关于yOz面和zOx面均对称，故yOz面和zOx面将1分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2．由此可知124II．3.利用二重积分定义证明：(1)d()DD其中为的面积；(2)(,)d(,)d()DDkfxykfxyk其中为常数；(3)12(,)d(,)d(,)d,DDDfxyfxyfxy其中12DDD，1D、2D为两个无公共内点的闭区域.证(1)由于被积函数(,)1fxy，故由二重积分定义得00011dlim(,)limlim.nniiiiiiDf(2)0011(,)dlim(,)lim(,)(,)d.nniiiiiiiiDDkfxykfkfkfxy(3)因为函数(,)fxy在闭区域D上可积，故不论把D怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D时，可以使1D和2D的公共边界永远是一条分割线。这样(,)fxy在12DD上的积分和就等于1D上的积分和加2D上的积分和，记为1212(,)(,)(,).iiiiiiiiiDDDDfff令所有i的直径的最大值0，上式两端同时取极限，即得1212(,)d(,)d(,)d.DDDDfxyfxyfxy4.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1)2()dDxy与3()dDxy，其中积分区域D是由x轴、y轴与直线1xy所围成；(2)2()dDxy与3()dDxy，其中积分区域D是由圆周22(2)(1)2xy所围成；(3)ln()dDxy与2[ln()]dDxy，其中D是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0),(1,1),(2,0)；(4)ln()dDxy与2[ln()]dDxy，其中{(,)35,01}Dxyxy.解(1)在积分区域D上，01xy，故有32()()xyxy，根据二重积分的性质４，可得32()d()d.DDxyxy(2)由于积分区域D位于半平面{(,)|1}xyxy内，故在D上有23()()xyxy．从而23()d()d.DDxyxy(3)由于积分区域D位于条形区域{(,)|12}xyxy内，故知D上的点满足0ln()1xy，从而有2[ln()]ln()xyxy．因此2[ln()]dln()d.DDxyxy(4)由于积分区域D位于半平面{(,)|e}xyxy内，故在D上有ln()1xy，从而有2[ln()]ln()xyxy．因此2[ln()]dln()d.DDxyxy5.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1)()dDIxyxy其中{(,)01,01}Dxyxy；(2)22sinsindDIxy其中{(,)0,0}Dxyxy；(3)(1)dDIxy其中{(,)01,02}Dxyxy；(4)22(49)dDIxy其中22{(,)4}Dxyxy.解(1)在积分区域D上，01x，01y，从而0()2xyxy，又D的面积等于1，因此0()d2.Dxyxy(2)在积分区域D上，0sin1x，0sin1y，从而220sinsin1xy，又D的面积等于2π，因此2220sinsindπ.Dxy(3)在积分区域D上，014xy，D的面积等于2，因此2(1)d8.Dxy(4)在积分区域D上，2204xy，从而22229494()925,xyxy，又D的面积等于4π，因此2236π(49)d100π.Dxy习题8-21.计算下列二重积分：(1)22()dDxy，其中{(,)|||1,||1}Dxyxy；(2)(32)dDxy，其中D是由两坐标轴及直线2xy所围成的闭区域；(3)323(3)dDxxyy，其中{(,)|01,01}Dxyxy；(4)cos()dDxxy其中D是顶点分别为(0,0)，(π,0)和(π,π)的三角形闭区域．解(1)1311112222221111128()dd()dd(2)d.333Dyxyxxyyxyxxx(2)D可用不等式表示为03,02yxx，于是222220000220(32)dd(32)d[3]d20(422)d.3xxDxyxxyyxyyxxxx(3)1132332300(3)dd(3)dDxxyyyxxyyx14113330001d()d1.44xxyyxyyyy(4)D可用不等式表示为0,0πyxx，于是ππ0000π0cos()ddcos()d[sin()]d3(sin2sin)dπ.2xxDxxyxxxyyxxyxxxxx2.画出积分区域，并计算下列二重积分：(1)dDxy，其中D是由两条抛物线yx，2yx所围成的闭区域；(2)2dDxy，其中D是由圆周224xy及y轴所围成的右半闭区域；(3)edxyD，其中{(,)|||||1}Dxyxy；(4)22()dDxyx，其中D是由直线2y，yx及2yx所围成的闭区域．解(1)D可用不等式表示为2,01xyxx，于是2237111424000226dddd(-)d.3355xxxDxxyxxyyxyxxxx(2)D可用不等式表示为204,22xyy，于是22422222202164ddd(4)d.215xDxyyyxxyyy(3)12DDD，其中1{(,)|11,10}Dxyxyxx，1{(,)|11,01}Dxyxyxx，于是12011111010121121110ededededededed(ee)d(ee)dee.xyxyxyDDDxxxyxyxxxxxyxyxx(4)D可用不等式表示为,022yxyy，于是22222023222232002()dd()d19313dd.322486yyDyyxyxyxyxxxxyxyyyy3.化二重积分(,)dDIfxy为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D是：(1)由直线yx及抛物线24yx所围成的闭区域；(2)由x轴及半圆周222(0)xyry所围成的闭区域；(3)由直线yx，2x及双曲线1(0)yxx所围成的闭区域；(4)环形闭区域22{(,)|14}xyxy．解(1)直线yx及抛物线24yx的交点为(0,0)和(4,4)，于是440d(,)dxxIxfxyy或2404d(,)dyyIyfxyx(2)将D用不等式表示为220,yrxrxr，于是可将I化为220d(,)drrxrIxfxyy；如将D用不等式表示为2222,0ryxryyr，于是可将I化为22220d(,)d.rryryIyfxyx(3)三个交点为(1,1)、1(2,)2和(2,2)，于是211d(,)dxxIxfxyy或12221112d(,)dd(,)d.yyIyfxyxyfxyx(4)将D划分为４块，得222222221411241414241114d(,)dd(,)dd(,)dd(,)d.yyyyyyyyIyfxyxyfxyxyfxyxyfxyx或222222221414241111241414d(,)dd(,)dd(,)dd(,)d.xxxxxxxxIxfxyyyfxyyyfxyyyfxyy4.改换下列二次积分的积分次序：(1)100d(,)dyyfxyx；(2)2220d(,)dyyyfxyx；(3)221101d(,)dyyyfxyx；(4)22212d(,)dxxxxfxyy；(5)eln10d(,)dxxfxyy；(6)πsin0sin2d(,)dxxxfxyy．解(1)所给二次积分等于二重积分(,)dDfxy，其中{(,)|0,01}Dxyxyy，D可改写为{(,)|1,01}xyxyx，于是原式110d(,)d.xxfxyy(2)所给二次积分等于二重积分(,)dDfxy，其中2{(,)|2,02}Dxyyxyy，D可改写为{(,)|,04}2xxyyxx，于是原式402d(,)d.xxxfxyy(3)所给二次积分等于二重积分(,)dDfxy，其中22{(,)|11,01}Dxyyxyy，D可改写为2{(,)|01,11}xyyxx，于是原式21110d(,)d.xxfxyy(4)所给二次积分等于二重积分(,)dDfxy，其中2{(,)|22,12}Dxyxyxxx，D可改写为2{(,)|211,01}xyyxyy，于是原式211102d(,)d.yyyfxyx(5)所给二次积分等于二重积分(,)dDfxy，其中{(,)|0ln,1e}Dxyyxx，D可改写为{(,)|ee,01}yxyxy，于是原式1e0ed(,)d.yyfxyx(6)所给二次积分等于二重积分(,)dDfxy，将D表示为12DD，其中1{(,)|arcsinπarcsin,01}Dxyyxyy，2{(,)|2arcsinπ,10}Dxyyxy，于是原式1πarcsin0π0arcsin12arcsind(,)dd(,)d.yyyyfxyxyfxyx5.计算由四个平面0x，0y，1x，1y所围成柱体被平面0z及236xyz截得的立体的体积．解此立体为一曲顶柱体，它的底是xOy面上的闭区域{(,)|01,01}Dxyyx，顶是曲面623zxy，因此所求立