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1整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。1．整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数(因子)，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除记作。由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若且，则(传递性质)；(2)若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知及，则对于任意的整数有。更一般，若都是的倍数，则。或着，则其中；(3)若，则或者，或者，因此若且，则；(4)互质，若，则；(5)是质数，若，则能整除中的某一个；特别地，若是质数，若，则；(6)(带余除法)设为整数，，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定；整数被称为被除得的(不完全)商，数称卓越个性化教学讲义2为被除得的余数。注意：共有种可能的取值：0,1，……，。若，即为被整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为（不超过的最大整数），而带余除法的核心是关于余数的不等式：。证明的基本手法是将分解为与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。若是正整数，则；若是正奇数，则；（在上式中用代）(7)如果在等式中取去某一项外，其余各项均为的倍数，则这一项也是的倍数；(8)n个连续整数中，有且只有一个是n的倍数；(9)任何n个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；2．奇数、偶数有如下性质：(1)奇数奇数=偶数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝奇数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝偶数，奇数奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；（2）奇数的平方都可以表示成的形式，偶数的平方可以表示为或的形式；（3）任何一个正整数，都可以写成的形式，其中为负整数，为奇数。（4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则卓越个性化教学讲义3这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。3．完全平方数及其性质能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：（1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；（3）奇数平方的十位数字是偶数；（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；（6）平方数的约数的个数为奇数；（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。（8）设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若（）＝1，则都是整数的次方幂。一般地，设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若两两互素，则都是正整数的k次方幂。4．整数的尾数及其性质整数的个位数也称为整数的尾数，并记为。也称为尾数函数，尾数函数具有以下性质：（1）；（2）＝；（3）；（4）；卓越个性化教学讲义4；（5）若，则；（6）；（7）；（8）5．整数整除性的一些数码特征（即常见结论）（1）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能；（2）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能；（3）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能；（4）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能；（5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。6．质数与合数及其性质1．正整数分为三类：（1）单位数1；（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子，则称这个自然数为合数。2．有关质（素）数的一些性质（1）若，则的除1以外的最小正因数是一个质（素）数。如果，卓越个性化教学讲义5则；（2）若是质（素）数，为任一整数，则必有或（）＝1；（3）设为个整数，为质（素）数，且，则必整除某个（）；（4）（算术基本定理）任何一个大于1的正整数，能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不计较因数的排列顺序）；（5）任何大于1的整数能唯一地写成①的形式，其中为质（素）数（）。上式叫做整数的标准分解式；（6）若的标准分解式为①，的正因数的个数记为，则。整数的性质及其应用（2）基础知识最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念，这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。定义1.（最大公约数）设不全为零，同时整除的整数（如）称为它们的公约数。因为不全为零，故只有有限多个，我们将其中最大一个称为的最大公约数，用符号（）表示。显然，最大公约数是一个正整数。当（）＝1（即的公约数只有）时，我们称与互素（互质）。这是数论中的非常重要的一个概念。同样，如果对于多个（不全为零）的整数，可类似地定义它们的最大公约数（）。若（）＝1，则称互素。请注意，此时不能推出卓越个性化教学讲义6两两互素；但反过来，若（）两两互素，则显然有（）＝1。由最大公约数的定义，我们不难得出最大公约数的一些简单性质：例如任意改变的符号，不改变（）的值，即；（）可以交换，（）＝（）；（）作为的函数，以为周期，即对于任意的实数，有（）＝（）等等。为了更详细地介绍最大公约数，我们给出一些常用的一些性质：（1）设是不全为0的整数，则存在整数，使得；（2）（裴蜀定理）两个整数互素的充要条件是存在整数，使得；事实上，条件的必要性是性质（1）的一个特例。反过来，若有使等式成立，不妨设，则，故及，于是，即，从而。（3）若，则，即的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数；（4）若，则；（5）若，则，因此两个不互素的整数，可以自然地产生一对互素的整数；（6）若，则，也就是说，与一个固定整数互素的整数集关于乘法封闭。并由此可以推出：若，对于有，进而有对有。（7）设，若，则；（8）设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若（）＝1，则都是整数的次方幂。一般地，设正整数之积是一个正整数的次方幂（），卓越个性化教学讲义7若两两互素，则都是正整数的次方幂。定义2.设是两个非零整数，一个同时为倍数的数称为它们的公倍数，的公倍数有无穷多个，这其中最小的一个称为的最小公倍数，记作，对于多个非零实数，可类似地定义它们的最小公倍数［］。最小公倍数主要有以下几条性质：（1）与的任一公倍数都是的倍数，对于多于两个数的情形，类似结论也成立；（2）两个整数的最大公约数与最小公倍满足：（但请注意，这只限于两个整数的情形，对于多于两个整数的情形，类似结论不成立）；（3）若两两互素，则［］＝｜｜；（4）若，且两两互素，则｜。