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整数问题—绪论亲爱的老师，欢迎您.2人们对整数性质的研究开始很早,随着数的范围的扩充，人们对数的性质的研究也越来越深入，并逐渐形成了数学的一个分支——数论.德国19世纪大数学家克罗内克(Kronecker)说过：正整数是神创造的，其余的数才是人创造的.数论主要的研究对象是整数,尤其是正整数，正整数是最深刻,最复杂,最难以琢磨的一类数.3数论就是关于数的理论.数学就是关于数的学问.高斯1777—1855，德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。高斯(Gauss)就曾说过：数学是科学的皇后，数论是数学的皇后.4人们对整数的研究开始很早早在公元前六世纪,古希腊的数学家毕达哥拉斯和他的学生就研究了数的整除性问题.他们注意到数6等于它自己的因数(不包括它自己)的和：6=1+2+3.这类数叫做完美数(完全数).还有:28=1+2+4+7+14.还有吗？5公元前三世纪,欧几里得(Euclid)在《几何原本》中给出4个完全数：6，28，496，8128.时至今日,人们也只找到38个完全数.其中最大的一个是欧几里得[前330年～前275年]欧氏几何学的开创者，古希腊数学家，以其所著的《几何原本》闻名于世。)12(2697259316972593也不知道完全数是否有限个？6寻找质数(素数)公元前三世纪,希腊学者埃拉托斯特(Eratosthenes)找到一种寻求质数的方法:依次写出2到1000的自然数,第一个数2是质数留下,把所有2的倍数划去;2后面第一个未划去的是3,3是质数留下,再把所有3的倍数都划去;3后面第一个未划去的数是5,5是质数留下,再把剩下的数中所有5的倍数都划去.这样继续下去,划到37以前的一个质数为止,最后留下的数就组成了1000以内的质数表.埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛”，简称“筛法”.7关于质数个数的问题,欧几里得(Euclid)在《几何原本》中巧妙地证明出了“质数有无穷多个”.质数在正整数中的分布很不均,越往后越稀少,发现质数就越困难.目前人们已知的质数还是为数有限的,迄今为止所发现的最大的质数是126972593（它有2098980个十进制位）8具体把乘积合数分解成质因数比证明这种积的存在性与唯一性要困难得多.算术基本定理这是数论中最基本的一个结论,最早由高斯(Gauss,1777—1855)给出其证明.该定理证明只告诉“合数可以分解成质因数乘积”的存在性与唯一性,并没有告诉如何分解成质因数乘积.任意的合数都可以分解成质因数的乘积,若不考虑质因数的顺序,则这种分解是唯一的.9正因为质因数在合数中的出现没有规律,这就使得将合数分解质因数变得非常困难.也正因为它很困难,后来人们才得以用它来设计难以破译的密码.质数不仅在正整数中的分布很不均匀,并且质因数在合数中的出现也没有任何规律可循,如：,52100033,131171001,167321002,59171003,251210042,67531005,50321006,53191007,732100824,10091009,101521010.1011101110因此数论的研究对象实际上就是质数.由于质数的出现没有规律，所以质数理论是数论中最难的一个研究方向,同时也是目前最热门的一个学科、应用性最强的一门学问.质数是构造正整数的一种最基本的成分，因为任何一个大于1的正整数都可以唯一地表示成质数的乘积形式，其作用就犹如物理学中的原子、建筑学中的砖块一样.111742年6月7日,德国数学家哥德巴赫(1690—1764)在给大数学家欧拉的信中提出了两个关于正整数与素数之间关系的推猜：哥德巴赫猜想1.每一个不小于6的偶数都是两个奇质数之和.2.每一个不小于9的奇数都是三个奇质数之和.哥德巴赫1690-1764，德国数学家；曾担任中学教师，1725年到俄国，被选为彼得堡科学院院士.欧拉1707－1783，瑞士数学家，自然科学家。是数学史上最多产的数学家，每年写出八百多页的论文，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。12哥德巴赫猜想:每一个不小于6的偶数都是两个奇质数之和.14104同年6月30日,欧拉在回信中认为这个猜想可能是正确的,但他表示无法证明.6=3+3,8=3+5,10=3+7=5+5,12=5+7,14=3+11=7+7,16=3+13=5+11,18=5+13=7+11,20=3+17=7+13,……最新的计算结果表明,在之前的所有偶数都满足哥德巴赫猜想.这保证不了所有的偶数都满足哥德巴赫猜想,也许会有那么一个很大的偶数,它就不能表示成两个奇质数之和.13哥德巴赫猜想:每一个不小于6的偶数都是两个奇质数之和.两百多年来,无数的数学家企图用各种方法来论证哥德巴赫猜想.1920年,挪威数学家布朗(Brun)迈出了有决定意义的一步.他证明了每一个充分大的偶数都可以表示为质因数都不超过9个的两个数之和,简称（9+9）.1924年,拉德马哈尔(Rademacher)证明了(7+7).1938年,布赫斯塔勃证明了(5+5),随后又证明了(4+4).1932年,爱斯特尔曼(Estermann)证明了(6+6).1957年,维诺格拉多夫(前苏联)证明了(3+3).14哥德巴赫猜想:每一个不小于6的偶数都是两个奇质数之和.哥德巴赫猜想的证明就是这样一步步艰难地前进着.但是这些证明结果都有一个共同的弱点,就是其中的两个数没有一个可肯定为质数,都是几个质数的积.1947年,匈牙利数学家雷尼证明了每一个充分大的偶数都可以表示为一个质数与另一个不超过R个质因数的乘积的和,简称（1+R）.1965年,布赫斯塔勃,维诺格拉多夫和朋比利等证明了(1+3).但是雷尼只证明了常数R是存在的,而等于多少却是未知的.15解放后华罗庚、王元、潘承洞、陈景润等又推进了这一问题的研究,并取得重要的成果.早在三十年代,华罗庚就开始了这项研究工作.我国对哥德巴赫猜想的研究也有很长的历史.华罗庚1910—1985，是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自安函数论等多方面研究的创始人和开拓者。以华氏命名的数学科研成果很多。被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一。王元1930－50年代至60年代初，首先在中国将筛法用于哥德巴赫猜想研究，并证明了命题3+4，1957年又证明2+3，这是中国学者首次在此研究领域跃居世界领先地位.陈景润1933－1996，主要研究解析数论，他研究哥德巴赫猜想和其他数论问题的成就，至今仍然在世界上遥遥领先。其成果也被称之为陈氏定理。16哥德巴赫猜想:每一个不小于6的偶数都是两个奇质数之和.1957年,王元证明了(2+3);1962年,潘承洞证明了(1+5);同年,王元和潘承洞又证明了(1+4);1966年,陈景润证明了(1+2).(其证明的全文因文革动乱而迟至1972年才正式发表)1965年,外国数学家证明了(1+3),但是人们还是认为向(1+2)挺近是很困难的.我国数学家对哥德巴赫猜想的研究取得重要的成果:17哥德巴赫猜想:每一个不小于6的偶数都是两个奇质数之和.陈氏定理:任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数再加上两个素数之积.陈景润1933－1996，主要研究解析数论，他研究哥德巴赫猜想和其他数论问题的成就，至今仍然在世界上遥遥领先。其成果也被称之为陈氏定理。这是迄今为止最好的结果,40多年来无人突破！18哥德巴赫猜想数学皇冠上一颗可望不可及的明珠英国伦敦Faber出版社于2000年3月20日公布，悬赏100万美元给第一个解决哥德巴赫猜想的人.但是到现在为止没有人能领到这笔奖金.数学家王元认为:对哥德巴赫猜想的进一步研究,必须要有一个全新的思路.潘承洞指出:现在看不出沿着人们所设想的途径有可能解决这一猜想,必须对有关方法作出重大改进,或者提出新的方法.19二次世界大战前,很多人都认为纯数学,特别是数论这样的学科是没有用(实用)的.哥德巴赫猜想有什么用？数论这门研究整数性质与规律的学科有什么用?数论一直以纯粹数学的身份出现在数学的大家庭中,许多数学家包括许多著名的数学家都对数论的纯粹性与优美性津津乐道,而对其应用性却忽略不计.如英国著名数学家哈代就说过:“真正的数学对战争毫无影响,至今还没有人能发现什么有火药味的东西是数论或是相对论造成的,而且很多年后也不会有人发现这类事情.”20数论对于现实生活是有用的.二次世界大战时,日本上空两朵蘑菇云的升起，让哈代在有生之年看到了自己关于相对论不能造成有火药味的东西的言论的否定.现在控制着成千上万颗导弹的密码体系的理论基础正是数论.现在,数论能将它本身的大量研究成果广泛深入地应用到包括数学的内的许多领域(如计算,密码,物理,化学,生物,工程,声学,电子,通讯甚至音乐等领域).21研究整数的性质有什么用？对于现实生活是有用的.更有用的是训练人们的心智.哈代(Hardy)认为:激励数学家做研究的主要动力是智力上的好奇心,是谜团的吸引力,是穷究真理的需要.研究吸引人的主要方面,正是这种对人类心智的挑战,是问题的吸引力.这种研究,不但能解决一个一个的老问题,还能产生一个一个的新问题,而这不正是我们现在特别愿意提到的问题意识、创新精神吗？22整数性质的研究与小学数学整数性质研究的最基本内容,一直是小学数学的基础内容之一.由于其概念多,概念之间的联系紧密,并且其间很多时候都需要学生直接借助概念进行思维,对于以形象思维为主的学生来说,这部分内容是难点.正因这些特点,使得它成为培养学生思维能力的绝好材料.