第十讲泰勒级数和罗朗级数

1.泰勒展开定理2.展开式的唯一性3.简单初等函数的泰勒展开式§4.3泰勒(Taylor)级数一.泰勒(Taylor)展开定理现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?）由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数一定是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。定理（泰勒展开定理）,2,1,0)(!1:)1()()(,,,)(0)(00000nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其中时当上各点的最短距离的边界到为内解析在区域设级数的处在Taylorzzf0)(二.展开式的唯一性定理解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？级数为：时当Taylorz,00nnznfzfzffzf!)0(!2)0('')0(')0()()(2---直接法---间接法•代公式•由展开式的唯一性，利用一些已知函数的展开式，运用级数的代数运算、分析运算等函数展开成Taylor级数的方法：),2,1,0(1)(00)(neezzznz三.简单初等函数的泰勒展开式.0cos,sin,)(展开式的在求Talorzzzezfz例1解032!!!3!21nnnznznzzzze.Rez该级数的收敛半径在复平面上解析00!)(!)(212sinnnnnzizinzinziiieez)!2()1(!4!21)'(sincos242nzzzzznn又Rzz它们的半径在全平面上解析,cos,sin112111212)!12()1()!12(221kkkkkkkzkzii1121753)!12()1(!7!5!3sinkkkkzzzzzz上述求sinz,cosz展开式的方法即为间接法.例2把下列函数展开成z的幂级数:解1111)1(2zzzzzn1)1(1)(1111zzzzznn(2)由幂级数逐项求导性质得：1)1(321)1(111)1(1112122znzzzzzzdzdzdzdznnnn01[ln(1)](1),1nnnzzz因为解逐项积分得0001dd(1)d,1zzznnz231ln(1)(1)||1.231nnzzzzzzn即)1ln()()3(zzf§4.4罗朗(Laurent)级数1.罗朗级数2.函数展开成罗朗级数3.如何展开成罗朗级数本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础。§4罗朗级数一个以z0为中心的圆域内解析的函数f(z),可以在该圆域内展开成zz0的幂级数.如果f(z)在z0处不解析,则在z0的邻域内就不能用zz0的幂级数来表示.但是这种情况在实际问题中却经常遇到.因此,在本节中将讨论在以z0为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.讨论下列形式的级数:100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcczzczz可将其分为两部分考虑:001000101001()()()()()()()()nnnnnnnnnnczzcczzczzczzczzczz非部分部分罗朗级数只有非负幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和.非负幂项是一幂级数,设其收敛半径为R2：201211(),nnnnnnczzccc这是的幂级数,设收敛半径为R：02.zzR对负幂项,如果令=(zz0)1,就得到：011RzzRR则当|zz0|R1时,即||R,011()nnnnnncczz收敛。因此,只有在R1|zz0|R2的圆环域,原级数才收敛.在收敛圆环域内也具有.上述级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导.幂级数在收敛圆内的许多性质,级数100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcczzczz现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成罗朗级数?定理设f(z)在圆环域R1|zz0|R2内解析,则010()()1()d.(0,1,2,)2π()nnnnnCfzczzfcniz其中C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.称为函数f(z)在以z0为中心的圆环域:R1|zz0|R2内的罗朗级数.一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是f(z)的罗朗级数.二.函数展开成罗朗级数（2）罗朗级数是唯一的,利用已知的函数的幂级数来展开的间接法。(1)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点z0的邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么就利用罗朗（Laurent）级数来展开。例3把函数.||0e)(13内展开成洛朗级数在zzzfz[解]因有133234321111e(1)2!3!4!110.2!3!4!zzzzzzzzzzzz23e12!3!!nzzzzzn例4xyo1221)(ziixyo12ziii2)(10)zi（xyo12解:zzzf2111)(2112111)(zzzf故12110)(zzzi01)211(nnnz00)2(21nnnnzz没有奇点2112111112111)(zzzzzzf122zz又11121)(zzzii00)2(21)1(1nnnnzzz01121nnnnnzz1222)(zzziiizzzzzzzf211111112111)(00)2(1)1(1nnnnzzzz1112nnnz例511()1fzzz1z当0时，1nnz[解]1()01(1)fzzzzz求以及为中心的罗朗级数.()01fzzz函数只有两个奇点及，()01fzz在以为中心的圆环域0z及1z内解析，11z在以为中心的圆环域0z-1及1z-1内解析，21()nnz0111()nnzzz111()11fzzzz0111()1nnfzzzzzz当1时，11()1fzzz11z当0时，101111(1)nnnnnnz（）（）01(1)()nnn11=1111()11fzzz1z当1时，1,1,1,zz令则0于是111111,,1,zz令则1于是1111()11fzzz21(1)()nnn=21(1)()1nnnz=(1)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把f(z)展成泰勒级数，在环域内需要把f(z)展成罗朗级数。(2)Laurent级数与Taylor级数的不同点：•Taylor级数先展开求R,找出收敛域。•Laurent级数先求f(z)的奇点，然后以z0为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使f(z)解析的环，在环域上展成级数。作业习题八、1、（选作两个）2、3、