匀变速直线运动的位移与速度的关系

【思考分析】1．汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？分析：汽车追上自行车之前，v汽v自时△x变大v汽=v自时△x最大v汽v自时△x变小解法一物理分析法两者速度相等时，两车相距最远。（速度关系）v汽=at=v自∴t=v自/a=6/3=2s△x=v自t－at2/2=6×2－3×22/2=6m小结：初速度为零的匀加速直线运动物体追及同向匀速物体时，追上前具有最大距离的条件：解法二用数学求极值方法来求解设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远∵△x=x1－x2=v自t－at2/2（位移关系）∴△x=6t－3t2/2由二次函数求极值条件知t=－b/2a=6/3s=2s时，△x最大∴△xm=6t－3t2/2=6×2－3×22/2=6m两者速度相等解法三用相对运动求解更简捷选匀速运动的自行车为参考系，则从运动开始到相距最远这段时间内，汽车相对参考系的各个物理量为：初速度v0=v汽初－v自=0－6=－6m/s末速度vt=v汽末－v自=6－6=0加速度a=a汽－a自=3－0=3m/s2∴相距最远x===－6mvt2－v022a－622×3解法四用图象求解1）自行车和汽车的v－t图象如图v/（ms-1）v′60t/st′tV汽V自由于图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小，所以由图上可以看出在相遇之前，在t时刻两车速度相等时，自行车的位移（矩形面积）与汽车位移（三角形面积）之差（即斜线部分）达最大，所以t=v自/a=6/3=2s2）由图可看出，在t时刻以后，由v自线与v汽线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车的位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时，t′=2t=4sv′=2v自=12m/smtt662212621自自vvs2．什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？解：汽车追上自行车时，二车位移相等（位移关系）则vt′=at′2/26×t′=at′2/2，t′=4sv′=at′=3×4=12m/s小结：分析相遇问题时，一定要分析所需满足的两个关系：1.找出两个物体的运动时间之间的关系;2.利用两个物体相遇时必须处于同一位置(同时同地),找出两个物体位移之间的关系思考：若自行车超过汽车2s后，汽车才开始加速。那么，前面的1、2两问如何？追及和相遇问题的分析方法:1.根据对两个物体的运动过程的分析，画出运动过程的示意图2.根据追逐的两个物体的运动性质,选择同一参照物,列出两个物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中3.由运动示意图找出两个物体的位移间的关系方程，这是关键4.联立方程进行求解.追及问题中常用的临界条件:⑴速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有最大距离;⑵速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追上,否则就不能追上.例2、一车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距x0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。解析：依题意，人与车运动的时间相等，设为t,当人追上车时，两者之间的位移关系为：x车+x0=x人即：at2／2+x0=v人t由此方程求解t，若有解，则可追上；若无解，则不能追上。代入数据并整理得：t2－12t+50=0△=b2－4ac=122－4×50×1=－56＜0所以，人追不上车。x0v=6m/sa=1m/s2在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的速度时，人车间的距离逐渐增大。因此，当人车速度相等时，两者间距离最小。at′=v人t′=6s在这段时间里，人、车的位移分别为：x人=v人t=6×6=36mx车=at′2/2=1×62/2=18m△x=x0+x车－x人=25+18－36=7m例3.在平直公路上有两辆汽车A、B平行同向行驶，A车以vA=4m/s的速度做匀速直线运动，B车以vB=10m/s的速度做匀速直线运动，当B车行驶到A车前x=7m处时关闭发动机以2m/s2的加速度做匀减速直线运动，则从此时开始A车经多长时间可追上B车？分析：画出运动的示意图如图所示：vA=4m/svB=10m/s7m追上处a=-2m/s2A车追上B车可能有两种不同情况：B车停止前被追及和B车停止后被追及。究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况判断。解答：设经时间t追上。依题意：vBt+at2/2+x=vAt10t-t2+7=4tt=7st=-1s(舍去)B车刹车的时间t′=vB/a=5s显然，B车停止后A再追上B。B车刹车的位移xB=vB2/2a=102/4=25mA车的总位移xA=xB+x=32m∴t=xA/vA=32/4=8s思考：若将题中的7m改为3m，结果如何？答：甲车停止前被追及例4.汽车正以10m/s的速度在平直公路上做匀速直线运动,突然发现正前方10m处有一辆自行车以4m/s的速度同方向做匀速直线运动,汽车立即关闭油门,做加速度为6m/s2的匀减速运动,问：（1）汽车能否撞上自行车?若汽车不能撞上自行车，汽车与自行车间的最近距离为多少？（2）汽车减速时，他们间距离至少多大不相撞？汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车速度，因此，汽车和自行车之间的距离在不断的缩小，当这距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同，则能满足汽车恰好不碰上自行车v汽=10m/sv自=4m/s10m追上处a=-6m/s2分析：画出运动的示意图如图所示解：（1）汽车速度减到4m/s时运动的时间和发生的位移分别为t=(v自-v汽)/a=（4-10）/(-6）s=1sx汽=（v自2-v汽2）/2a=(16-100)/(-12)=7m这段时间内自行车发生的位移x自=v自t=4m因为x0+x自x汽所以，汽车不能撞上自行车。汽车与自行车间的最近距离为△x=x0+x自－x汽=（10+4－7）m=7m（2）要使汽车与自行车不相撞则汽车减速时它们之间的距离至少为x=x汽－x自=（7-4）m=3m分析追及和相遇问题时要注意：1.一定要抓住一个条件两个关系（1）一个条件是两个物体速度相等时满足的临界条件，如两个物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上等。（2）两个关系是时间关系和位移关系时间关系指两物体是同时运动还是一前一后位移关系指两物体同地运动还是一前一后，通过画运动示意图找两物体间的位移关系是解题的关键。2.若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意，追上前该物体是否停止运动。3.仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中隐含条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。例3•汽车正以v1＝10m/s的速度在平直公路上行驶，突然发现正前方s0＝6m处有一辆自行车以v2＝4m/s的速度作同方向的匀速直线运动，汽车立即刹车做加速度为a＝4m/s2的匀减速运动，则经过t＝3s后，汽车与自行车相距多远？V1=10m/sa=-4m/s2S0=6mV2=4m/ss1s2Δs＝？3s后分析：Δs＝s2+s0－s1汽车做匀减速直线运动，a取负值。画草图，标出已知量解：•汽车减速过程•V1＝10m/s，•a＝－4m/s2，•t＝3smattvs123)4(21310212201自行车匀速v2＝4m/s，t＝3s∴s2＝v2t＝12m∴Δs＝s0＋s2－s1＝6+12-12=6mV1=10m/sa=-4m/s2S0=6mV2=4m/ss1s2Δs＝？3s后正确解法：•汽车从刹车到停止所用时间•由vt＝v0＋at＝0得savt5.241000则3s内汽车位移等于2.5s内汽车位移mattvs5.125.2)4(215.210212201即•3s内自行车位移•S2＝v2t＝4×3＝12m•所以△s＝s0＋s2－s1＝6＋12－12.5＝5.5m成功始于“足”下