85平面向量数乘运算及其几何意义

2.2.3向量数乘运算及其几何意义1.向量加法三角形法则:aAbBCbaaaAbBbOCba特点:尾首相接,首尾相连特点:起点相同,连终点babBaABAabO特点：共起点，连终点，指向被减向量2.向量加法平行四边形法则:3.向量减法三角形法则:已知非零向量,作出,你能发现什么？aaaa类比上述结论，又如何呢？()()()aaaaOaaaABC3aPQaMaNa3a与方向相同3aa33aa即与方向相反3aa33aa即作一作，看成果一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度和方向规定如下：aa||||||;aa（1）（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。aa0aa0特别的，当时，00.a书本P90,练习2练一练:(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a为非零向量)，并进行比较。a)2(3a)2(3aa6=baba22a2b2baba22)(2(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。ab向量的数乘运算满足如下运算律：)();()1(2)(3);().aaaaaabab，是实数，）（（aaabab特别地:（）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算例1、计算下列各式a4)3)(1(ababa)(2)(3)2(a12b5)23()32)(3(cbacbacba25书本P90,练习5练一练::思考?,),0()1(位置关系如何则若baaab?),0(//)2(是否成立则若abaab//ba成立向量共线定理：0.),(,ababa向量与共线当且仅唯一一个当有实数使书本P90,练习4练一练:思考:1)为什么要是非零向量?a2)可以是零向量吗?bab即与共线ba(0)a例如图，已知AD=3AB，DE=3BC，试判断AC与AE是否共线。ADECBBCAB33BCAB3AC3∴与共线．AEACDEADAE解：例6.如图，已知任意两个向量，试作ab、2,3.OBabOCab,OAab你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？abab2b3bABCO证明三点共线的方法:总结:AB=λBC且有公共点ＢA,B,C三点共线121212122362348:eeABeeBCeeCDeeAB已知两个非零向量和不共线，如果，，，求证、、D三点共线.例7.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且，你能用、来表示。,ABaADbabMAMBMCMD、、和ABDCMab书本P92,11题练一练:思考1：如图，设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量与，与分别有什么关系？BDuuurBCuuurADuuurDMuuuurABCDMBCBD21DMAD3共线对于任意一个三角形，三角形的三条高的交点叫做垂心，三角形的三条中线的交点所为重心，三角形的三条角平分线的交点叫内心，三角形的三条中垂线的交点叫外心设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值.12122,3,ABekeCBee12,ee122CDee一、①的定义及运算律②向量共线定理二、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBC且有公共点Ｂ3.证明两直线平行:AB=λCDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD小结:A,B,C三点共线AB∥CDa0aab即与共线abCD④①②书本P91，A组，9,12B组,3