高等数学中的 偏导数

Fri.Mar.8Review1.多元函数：概念，极限，连续；2.多元初等函数的连续性；3.有界闭区域上多元函数的性质：有界性，最值定理，介值定理。§2偏导数偏导数的概念高阶偏导数一.偏导数的概念1.偏导数(partialderivative)引例:研究弦在点x0处的振动速度与加速度,中的x固定于一阶导数与二阶导数.x0处,关于t的将振幅),(txu0xoxu),(0txu定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y，而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量z),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.的偏导数，为处对在点同理可定义函数yyxyxfz),(),(00yyxfyyxfy),(),(lim0000000000000,,(,).xxyyxxxxyyyyyyzfzfxyyy记为或的偏导数，即都存在对内每一点在若xyxDyxfz),(),(Dyxxyxfyxxfx),(,),(),(lim0的偏导数，记作对它为的函数，称仍是存在，显然这个偏导数xyxfzyx),(),().,(,,yxfxzxfx偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处),,(zyxfu),,(zyx,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz有关偏导数的几点说明：2.求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；;.1拆分是一个整体记号，不能偏导数xuxzy0),(yxfzMxzxyxfyxxfx),(),(lim00000Mxz由一元函数导数的几何意义：z=f(x,y)0),(yyyxfzL：L得曲线=tan2.偏导数的几何意义.y=y0)(y,x?Myz同理，.MTx固定y=y0M),(yxfzMyzyy,xfyy,xfy)()(limz=f(x,y)L)(y,xx=x0固定x=x0Tx.xzy0M),(yxfzMyzyy,xfyy,xfy)()(limMyz由一元函数导数的几何意义：z=f(x,y)xxy,xfz)(L得曲线=tan.)(y,xx=x0固定x=x0TxTy.xzy0偏导数),(00yxfx就是曲面被平面0yy所截得的曲线在点0M处的切线xTM0对x轴的斜率.偏导数),(00yxfy就是曲面被平面0xx所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴的斜率.3.偏导数的计算的导数。，求对固定的导数，即求可对xyyxyxfyxfx000),(),(解:xz;32yxyz.23yx21yxxz,8231221yxyz.72213处的偏导数；在点求例)2,1(3.122yxyxz解:xzxyxxyxx2222211322222)(||yxyyyx.||22yxy|)|(2yy；，求设例yzxzyxxz,arcsin.222yzyyxxyxx222221132222)()(||yxxyyyxyyxx1sgn22)0(y00yxyz不存在．证:VRTp;2VRTVppRTV;pRTVRpVT;RVpTpTTVVp2VRTpRRV.1pVRT.1),(.3pTTVVpRRTpV求证：为常数程已知理想气体的状态方例22(,)(0,0)4.(,)0(,)(0,0)(,).xyxyxyfxyxyfxy例设求的偏导数解:(,)(0,0),xy当时22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx,)()(22222yxxyy22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy,)()(22222yxyxx(,)(0,0),xy当时按定义可知：xfxffxx)0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0xxyfyffyy)0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0yy,)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222yxyxyxxyyyxfx.)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222yxyxyxyxxyxfy;)arctan(),(.522的偏导数求函数例xyyxeeyxf解:xf2)(1)(2222xyyxxxyyxeeee,)(1222222xyyxxyyxeeyexeyf.)(1222222xyyxxyyxeexeye).1,(arcsin)1(),(.6xfyxyxyxfx，求已知函数例解:)1,(xfx)1,(xfx.14.偏导数和连续性的关系例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，观察偏导数的定义：xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000有关，即与曲线右端公式仅仅与函数010),(:),,(yyyxfzCyxf,),(:),(0200有关是否存在也仅与同样xxyxfzCyxfy.,21以外的点无关所以偏导数存在与CCMon.Mar.11Review1.多元函数：概念，极限，连续；2.多元初等函数的连续性；3.有界闭区域上多元函数的性质：有界性，最值定理，介值定理。4.偏导数的概念：,),(),(lim),(0000000xyxfyxxfyxfxx,),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy.一元函数在其可导点连续，在多元函数未必成立。Note:时，函数值标轴的方向趋近于沿平行于坐保证因为偏导数存在，只能),(),(00yxyx),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf时，也有以任意方式趋于不能保证),(),(00yxyx5.偏导数的几何意义：.),(.),,(),(0000000轴的斜率对处的切线在为曲线xTMyxMyyyxfzyxfxx.),(.),,(),(0000000轴的斜率对切线处的在为曲线yTMyxMxxyxfzyxfyy0,100,0),(.xyyxyxf或例xfxffxx)0,0()0,0(lim)0,0(0yfyffyy)0,0()0,0(lim)0,0(000，为而沿其它方向的极限却，轴的方向极限为轴和在原点处沿但10),(yxyxf不存在。因此),(lim)0,0(),(yxfyx偏导存在但不连续。连续，但在内一点，故是其定义域是初等函数，例)0,0(),()0,0(),(.22yxfyxyxf不可导；在，让固定0||||)0,(,0,0xxxxfxy不可导；在同理0||),0(yyyf不可导。在因此函数)0,0(),(yxf连续,但偏导不存在。偏导数存在连续.二者没有因果关系。二.高阶偏导数),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数..3),(323的二阶偏导数求例yxyxyxf解：,6332xyyxxf32266yxyxf222183xyxyxf,9223yxxyf222183xyxxyfyxyf22218xyfyxf22并非偶然定理：),(),(),(),(),(),(000000yxfyxfyxPyxfyxfyxfzyxxyyxxy，即处连续，则它们必相等在点和的两个混合偏导数若函数说明：在二阶混合偏导数连续的条件下，它与求偏导的次序无关。证明：则二阶偏导存在在设函数,),(),(00Dyxyxfz)1(),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfxxyxy)2(),(),(lim),(0000000xyxfyxxfyxfxx而xyyxfyyxxfyyxfxx),(),(lim),(0000000)3(式得：代入将)1()3(),2(),(00yxfxy)]},(),([)],(),({[1lim1lim0000000000yxfyxxfyyxfyyxxfxyxy)4()],(),([)],(),([00000000yxfyxxfyyxfyyxxfA考虑),(),()(00yxfyxxfy引进辅助函数),(),()(00000yxfyxxfy于是),(),()(00000yyxfyyxxfyy)()(00yyyA从而中值定理得：利用LangrageAyyyy)(10yyyxfyyxxfyy)],(),([100100)10(1中值定理，得：应用对上式再对LangragexxyyyxxfAyx),(1020)1,0(21),(00yxfyx)]},(),([)],(),({[1lim1lim0000000000yxfyyxfyxxfyyxxfyxyx义知：同理，由二阶偏导数定:)4(中第二、三项交换所得为)],(),([)],(),([00000000yxfyyxfyxxfyyxxfA中值定理，有应用，再对式先对对LangrageyxA)10(),(4,34030xyyyxxfAxy于是有：),(),(40301020yyxxfyyxxfxyyx的连续性知，由上式两端令xyyxffyx,0,0).,(),(0000yxfyxfxyyx0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0,0(),0(lim0),(yxfy例如,),(yxfx)0,0(yxfxfxffyyxxy)0,0()0,(lim)0,0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0,022yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022yx0,022yx0,222222yxyxyxyx;,)cos(),(.12333yxfxfyxeyxf