高等数学习微积分题课课件

上一页下一页返回第六章多元函数微分学习题课一、主要内容二、典型例题上一页下一页返回平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极限运算多元连续函数的性质多元函数概念一、主要内容上一页下一页返回全微分的应用高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性偏导数在几何上的应用方向导数梯度多元函数的极值全微分概念偏导数概念上一页下一页返回1、区域设),(000yxP是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点),(000yxP距离小于的点),(yxP的全体，称为点0P的邻域，记为),(0PU，（1）邻域),(0PU||0PPP.)()(|),(2020yyxxyx0P连通的开集称为区域或开区域．（2）区域上一页下一页返回（3）聚点设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.（4）n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组),,,(21nxxx的全体为n维空间，而每个n元数组),,,(21nxxx称为n维空间中的一个点，数ix称为该点的第i个坐标.上一页下一页返回设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP).(，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为),(yxfz（或记为)(Pfz）.2、多元函数概念定义当2n时，n元函数统称为多元函数.类似地可定义三元及三元以上函数．上一页下一页返回定义设函数),(yxfz的定义域为,D),(000yxP是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式20200)()(||0yyxxPP的一切点，都有|),(|Ayxf成立，则称A为函数),(yxfz当0xx，0yy时的极限，记为Ayxfyyxx),(lim00（或)0(),(Ayxf这里||0PP）.3、多元函数的极限上一页下一页返回说明：（1）定义中的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．4、极限的运算).0()()().3(;)()().2(;)()().1(,)(,)(0BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP则时，设上一页下一页返回5、多元函数的连续性定义设n元函数)(Pf的定义域为点集0,PD是其聚点且DP0，如果)()(lim00PfPfPP则称n元函数)(Pf在点0P处连续.设0P是函数)(Pf的定义域的聚点，如果)(Pf在点0P处不连续，则称0P是函数)(Pf的间断点.上一页下一页返回在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理6、多元连续函数的性质上一页下一页返回定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为7、偏导数概念上一页下一页返回同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy.00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.上一页下一页返回如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz对自变量x的偏导数，记作xz，xf，xz或),(yxfx.同理可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导数，记作yz，yf，yz或),(yxfy.上一页下一页返回８、高阶偏导数),,(22yxfxzxzxxx),,(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy).,(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.上一页下一页返回如果函数),(yxfz在点),(yx的全增量),(),(yxfyyxxfz可以表示为)(oyBxAz，其中A,B不依赖于yx,而仅与yx,有关，22)()(yx，则称函数),(yxfz在点),(yx可微分，yBxA称为函数),(yxfz在点),(yx的全微分，记为dz，即dz=yBxA.９、全微分概念上一页下一页返回多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续偏导存在上一页下一页返回10、全微分的应用,),(),(yyxfxyxfdzZyx.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx有很小时当,,yx主要方面:近似计算与误差估计.上一页下一页返回11、复合函数求导法则定理　如果函数)(tu及)(tv都在点t可导，函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)](),([ttfz在对应点t可导，且其导数可用下列公式计算：dtdvvzdtduuzdtdz．以上公式中的导数称为全导数.dtdzuvtz上一页下一页返回如果),(yxu及),(yxv都在点),(yx具有对x和y的偏导数，且函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([yxyxfz在对应点),(yx的两个偏导数存在，且可用下列公式计算xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz.uvxzy链式法则如图示上一页下一页返回12、全微分形式不变性无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、dvvzduuzdz.上一页下一页返回0),()1(yxF隐函数存在定理1设函数),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00yxF，0),(00yxFy，则方程0),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy，它满足条件)(00xfy，并有yxFFdxdy.隐函数的求导公式13、隐函数的求导法则上一页下一页返回隐函数存在定理2设函数),,(zyxF在点,(0xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0xF0),00zy，0),,(000zyxFz，则方程,,(yxF0)z在点),,(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz，它满足条件),(000yxfz，并有zxFFxz，zyFFyz.0),,()2(zyxF上一页下一页返回0),,,(0),,,()3(vuyxGvuyxF隐函数存在定理3设),,,(vuyxF、),,,(vuyxG在点),,,(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且0),,,(0000vuyxF,),,,(0000vuyxG0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）vGuGvFuFvuGFJ),(),(上一页下一页返回在点),,,(0000vuyxP不等于零，则方程组0),,,(vuyxF、0),,,(vuyxG在点),,,(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu，),(yxvv，它们满足条件),(000yxuu,vv0),(00yx，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu上一页下一页返回vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu.),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv上一页下一页返回14、偏导数在几何上的应用切线方程为.)()()(000000tzztyytxx法平面方程为.0))(())(())((000000zztyytxxt(1)空间曲线的切线与法平面).(),(),(:tztytx上一页下一页返回(２)曲面的切平面与法线.0),,(:zyxF切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为.),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx上一页下一页返回15、方向导数、梯度.),(),(lim0yxfyyxxflf的方向导数．沿方向则称这极限为函数在点在，时，如果此比的极限存趋于沿着当之比值，两点间的距离与函数的增量定义lPPlPyxPPyxfyyxxf22)()(),(),(记为上一页下一页返回.,,),cos,cos,(cos的方向角为ll对于三元函数u=f(x,y,z),同样可以定义它在一点P(x,y,z)处沿方向l的方向导数.设l的方向向量为.coscoscoszfyfxflf则当u在(x,y,z)处可微时,有定理如果函数),(yxfz在点),(yxP是可微分的，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有coscosyfxflf上一页下一页返回定义设函数),(yxfz在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP),(，都可定出一个向量jyfixf，这向量称为函数),(yxfz在点),(yxP的梯度，记为),(yxgradfjyfixf.梯度的概念同理上一页下一页返回函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为22|),(|yfxfyxgradf.梯度与方向导数的关系上一页下一页返回16、多元函数的极值设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx：若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极大值；若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极小值；定义极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.上一页下一页返回定理1（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00yxfx，0),(00yxfy.多元函数取得极值的条件定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.极值点注意驻点上一页下一页返回定理2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又0),(00yxfx,0),(00yxfy，令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：（1）02BAC时有极值，当0A时有极大值，当0A时有极小值；