高等数学向量代数与空间解析几何总结

一、主要内容（一）向量代数（二）空间解析几何空间解析几何与向量代数习题课向量的线性运算向量的表示法向量积数量积向量的积向量概念（一）向量代数1、向量的概念定义:既有大小又有方向的量称为向量.自由向量、相等向量、负向量、向径.重要概念:零向量、向量的模、单位向量、平行向量、(1)加法：cba2、向量的线性运算dbaab(2)减法：cbadba(3)向量与数的乘法：设是一个数，向量a与的乘积a规定为,0)1(a与a同向，||||aa,0)2(0a,0)3(a与a反向，||||||aa向量的分解式：},,{zyxaaaa.,,,,轴上的投影分别为向量在其中zyxaaazyxkajaiaazyx在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,,向量的坐标表示式：向量的坐标：zyxaaa,,3、向量的表示法向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式},,{zyxaaaa},,{zyxbbbb},,{zzyyxxbabababa},,{zzyyxxbabababa},,{zyxaaaakbajbaibazzyyxx)()()(kbajbaibazzyyxx)()()(kajaiazyx)()()(222||zyxaaaa向量模长的坐标表示式222coszyxxaaaa222coszyxyaaaa222coszyxzaaaa向量方向余弦的坐标表示式)1coscoscos(2224、数量积cos||||baba其中为a与b的夹角(点积、内积)zzyyxxbabababa数量积的坐标表达式ba0zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa两向量夹角余弦的坐标表示式5、向量积sin||||||bac其中为a与b的夹角c的方向既垂直于a，又垂直于b，指向符合右手系.(叉积、外积)kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量积的坐标表达式bazyxzyxbbbaaakjibaba//zzyyxxbababa请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途（1）数量积①求向量的模：②求两向量的夹角：.||)1(2aaacos||||baba,||||cosbaba222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途（续）（1）数量积③求一个向量在另一个向量上的投影：④两向量垂直的充要条件为.3||Prbbaajbba0zzyyxxbababa请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途（续）（2）向量积①求与两个非共线向量a、b同时垂直的向量n,可取其中λ是某个非零的数（通常在不考虑向量模的大小时可取λ=1）；nab请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途（续）（2）向量积②几何上||ba表示以a和b为邻边的平行四边形的面积.abbac③ba)2(//.0ba)0,0(ba直线曲面曲线平面参数方程旋转曲面柱面二次曲面一般方程参数方程一般方程对称式方程点法式方程一般方程空间直角坐标系（二）空间解析几何x横轴y纵轴z竖轴定点o1、空间直角坐标系空间的点有序数组),,(zyxxyoz空间直角坐标系共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.21221221221zzyyxxMM它们距离为设),,(1111zyxM、),,(2222zyxM为空间两点两点间距离公式:曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程0),,(zyxF有下述关系：(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程；那么，方程0),,(zyxF就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程的图形.2、曲面(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；研究空间曲面的两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程.[1]旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之.这条定直线叫旋转曲面的轴.方程特点:0),()2(0),()1(00),(:2222yzxfyLzyxfxLzyxfL方程为轴旋转所成的旋转曲面绕曲线方程为轴旋转所成的旋转曲面绕曲线设有平面曲线（2）圆锥面222zyx（1）球面（3）旋转双曲面1222222czayax1222zyx[2]柱面定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.从柱面方程看柱面的特征：只含yx,而缺z的方程0),(yxF，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C.(1)平面xy(3)抛物柱面)0(22ppyx(4)椭圆柱面12222byax(2)圆柱面222Ryx[3]二次曲面定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面1222222czbyaxzqypx2222（2）椭圆抛物面)(同号与qpzqypx2222（3）马鞍面)(同号与qp（4）单叶双曲面1222222czbyax（5）圆锥面222zyx3、空间曲线0),,(0),,(zyxGzyxF[1]空间曲线的一般方程)()()(tzztyytxx[2]空间曲线的参数方程22222)21()21(1yxyxz2sinsin2121cos21tztytx如图空间曲线一般方程为参数方程为[3]空间曲线在坐标面上的投影0),,(0),,(zyxGzyxF消去变量z后得：0),(yxH设空间曲线的一般方程：00),(zyxH曲线在面上的投影曲线为xoy00),(xzyR00),(yzxT面上的投影曲线yoz面上的投影曲线xoz如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面[4]空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体曲面4、平面},,{CBAn),,(0000zyxMxyzon0MM[1]平面的点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA[2]平面的一般方程0DCzByAx1czbyax[3]平面的截距式方程xyzoabc0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA[4]平面的夹角222222212121212121||cosCBACBACCBBAA[5]两平面位置特征：21)1(0212121CCBBAA21)2(//212121CCBBAA11n22n5、空间直线0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA00:22221111DzCyBxADzCyBxAL[1]空间直线的一般方程xyzo12LxyzosL0MM[3]空间直线的参数方程pzznyymxx000[2]空间直线的对称式方程ptzzntyymtxx000),,(0000zyxM},,{pnms直线:1L111111pzznyymxx直线:2L222222pzznyymxx22222221212121212121||),cos(pnmpnmppnnmmLL^两直线的夹角公式[4]两直线的夹角[5]两直线的位置关系：21)1(LL0212121ppnnmm21)2(LL//212121ppnnmmpzznyymxxL000:0:DCzByAx[6]直线与平面的夹角222222||sinpnmCBACpBnAm直线与平面的夹角公式)20([7]直线与平面的位置关系L)1(pCnBmAL)2(//0CpBnAm二、典型例题例1解共面．且，使，求一单位向量，已知bancnnkjickjbia,,,22,2000,0kzjyixn设由题设条件得10ncn0ban0020221222zyzyxzyx解得).323132(0kjin例2解.401284,0405:角的平面方程组成且与平面求过直线zyxzxzyx过已知直线的平面束方程为,0)4(5zxzyx,04)1(5)1(zyx即}.1,5,1{n其法向量}.8,4,1{n又已知平面的法向量由题设知114cosnnnn222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1(,2723222即由此解得.43代回平面束方程为.012720zyx例3解.1243:,12:)1,1,1(210LxzxyLxzxyLM都相交的直线且与两直线求过点将两已知直线方程化为参数方程为1243:,12:21tztytxLtztytxL的交点分别为与设所求直线21,LLL).12,43,()1,2,(222111tttBtttA和,,)1,1,1(0三点共线与BAM).(00为实数故BMAM即有,,00对应坐标成比例于是BMAM,1)12(1)1(1)43(1211212121tttttt,0,021tt解之得)3,2,2(),1,0,0(BA,)3,2,2()1,1,1(0上同在直线和点LBM的方程为故L.211111zyx例4解.02:01012:上的投影直线的方程在平面求直线zyxzyxzyxL的平面束方程为过直线L,0)1()12(zyxzyx.0)1()1()1()2(zyx即L,014即41故,代入平面束方程将.013zyx得所求投影直线方程为.02013zyxzyx,垂直于平面又.0)1()1(2)1(1)2(例5解.,1101:求旋转曲面的方程轴旋转一周绕直线zzyxL),,1(111zyM设直线上一点,11zy有位置到达旋转后),,(),,1(111zyxMzyM由于高度不变,,1zz有,1不因旋转而改变轴的距离到和又rzMM2121yr故,22yx,11yzz由于故所求旋转曲面方程为.1222zyxabaxabxabax)(lim,60为非零向量，证明、已知例)())((lim)(lim00abxaxabxaabxaxabxaxx解：axabxax2)(lim220axabxbaxax22lim22220abxbax22lim20.aba的最小值。时，满足关系式：求当常数向量：已知例rcbacrcjibjia),(,3,37cba解：sincbsinbrs