高等数学导数的概念教学ppt

第二章导数与微分第一节导数的概念第二章导数与微分第一节导数的概念第二节导数的计算第三节函数的微分第二章导数与微分第一节导数的概念第一节导数的概念本节主要内容:一.导数的定义二.导数的几何意义三.函数的可导性与连续性的关系第二章导数与微分第一节导数的概念3一.导数的定义例1.瞬时速度问题vtx平均速度00()()ftfttt,0时当tt取极限得瞬时速度0000()()|limttttftftvtt一质点在x轴上作变速直线运动,运动方程x=f(t),求时刻的瞬时速度。0t第二章导数与微分第一节导数的概念4T0xxoxy)(xfyCNM如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线极限位置即.0,0NMTMN).,(),,(00yxNyxM设的斜率为割线MN00tanxxyy,)()(00xxxfxf,,0xxMNC沿曲线的斜率为切线MT.)()(limtan000xxxfxfkxx例2.切线问题第二章导数与微分第一节导数的概念5,,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数定义2.1.100(),xxxxdydfxfxdxdx0或或或()第二章导数与微分第一节导数的概念6如果存在，则称y=f(x)在x0处可导.0limxyx如果不存在，则称y=f(x)在x0处不可导.0limxyx如果，则称y=f(x)在x0处导数为无穷大.0limxyx第二章导数与微分第一节导数的概念7.)()(lim)(0000hxfhxfxfh其它形式.)()(lim)(0000xxxfxfxfxxxxfxxfxyyxxxx)()(limlim00000即例3()10,(1).fxxf求解：0010()1010(1)limlim10hhxhxhfhh第二章导数与微分第一节导数的概念8.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或记作的导函数这个函数叫做原来函数导数值的一个确定的都对应着对于任一xxfxxfyx)()(lim0即.)()(lim)(0hxfhxfxfh或注意:00()().xxfxfx第二章导数与微分第一节导数的概念92.右导数:定义2.1.2单侧导数1.左导数:0000000()()()()()limlim;xxxfxfxfxxfxfxxxx0000000()()()()()limlim;xxxfxfxfxxfxfxxxx函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等.定理2.1.1第二章导数与微分第一节导数的概念10由定义求导数步骤:);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限例4.)()(的导数为常数求函数CCxf解：hxfhxfxfh)()(lim)(0hCCh0lim.0.0)(C即第二章导数与微分第一节导数的概念11例5.)(sin)(sin,sin)(4xxxxxf及求设函数解：hxhxxhsin)sin(lim)(sin022sin)2cos(lim0hhhxh.cosx.cos)(sinxx即44cos)(sinxxxx.22第二章导数与微分第一节导数的概念12例6.)(的导数为正整数求函数nxyn解：hxhxxnnhn)(lim)(0]!2)1([lim1210nnnhhhxnnnx1nnx.)(1nnnxx即更一般地)(.)(1Rxx)(x例如,12121x.21x)(1x11)1(x.12x第二章导数与微分第一节导数的概念13例7解：00()()ff01()f00sin,(),,xxfxxx00()(0)sin(0)limlim10xxfxfxfxx已知求0().f00()(0)(0)limlim10xxfxfxfxx第二章导数与微分第一节导数的概念14oxy)(xfyT0xM切线方程为法线方程为).)((000xxxfyy).()(1000xxxfyy表示曲线y=f(x)上点'0()fx000(,())Pxfx处切线的斜率。二.导数的几何意义第二章导数与微分第一节导数的概念15解:由导数的几何意义,得切线斜率为21xyk21)1(xx2121xx.4所求切线方程为法线方程为),21(42xy),21(412xy.044yx即.01582yx即.,)221(1x例9,方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线y第二章导数与微分第一节导数的概念16定理2.1.2凡可导函数都是连续函数.证,)(0可导在点设函数xxf.)(0连续在点函数xxf三.函数的可导性与连续性的关系)(lim00xfxyx即00000limlim()limxxxyyxfxxx有注意:该定理的逆定理不成立.第二章导数与微分第一节导数的概念17例10.0)(处的可导性在讨论函数xxxf解:xyxyo,)0()0(hhhfhfhhhfhfhh00lim)0()0(lim,1hhhfhfhh00lim)0()0(lim.1),0()0(ff即.0)(点不可导在函数xxfy0()f0()f第二章导数与微分第一节导数的概念18内容小结一.导数的定义二.导数的几何意义三.函数的可导性与连续性的关系增量比的极限切线的斜率可导一定连续，但连续不一定可导