带附加气室空气弹簧动刚度的线性化模型研究

带附加气室空气弹簧动刚度的线性化模型研究王家胜朱思洪*（南京农业大学工学院江苏南京210031）摘要：基于工程热力学和空气动力学理论分别建立了带附加气室空气弹簧系统各元部件的状态方程和动力学方程，为了简化复杂的非线性模型，根据泰勒级数理论，利用小偏差线性化的方法在小振幅的条件下对各方程进行了线性化处理，并推导出了带附加气室空气弹簧动刚度的线性化模型。为了验证线性化模型的精度和分析各参变量对弹簧动刚度的影响关系，以美国Firestone公司生产的1T15M-2型膜式空气弹簧作为计算对象，分别利用空气弹簧动刚度的非线性和线性化模型计算了弹簧动刚度与各因素之间的动态变化关系，计算结果表明空气弹簧内压、节流孔有效面积、弹簧振动频率以及附加气室容积等因素均会影响弹簧动刚度；动刚度的线性化与非线性模型在各因素影响下的变化曲线基本吻合。关键词：空气弹簧；附加气室；动刚度；线性化模型中图分类号：TH135文献标识码：ASTUDYONLINEARIEDMODELFORDYNAMICSTIFFNESSOFAIRSPRINGWITHAUXILIARYCHAMBERWangJiashengZhuSihong（CollegeofEngineering，NanjingAgriculturalUniversity，Nanjing,210031,Jiangsu,China）Abstract:Basedonthetheoryofthermomechanicsandfluiddynamics,thestateequationsanddynamicequationsofairspring,auxiliarychamberandorificeareestablished.Inordertosimplifythecomplexnonlinearmodel,supposingtheamplitudeofvibrationissmall,thedynamicequationsarelinearprocessedwithsmalldeviationlinearmethodwhichbasedonTaylorseries,thenthelineariedmodelfordynamicstiffnessofairspringisdeduced.Inordertoverifytheprecisionoflineariedmodelandanalyzetheeffectofeachparameterondynamicstiffnessofairspring,takingtheFirestone1T15M-2airspringasexample,thedynamicsstiffnessofairspringwithvaryingparameterswascalculatedwiththedynamicstiffnessnonlinearmodelandthedynamicstiffnesslineariedmodelrespectively.Theresultsshowthatairspringpressure,areaoforifice,frequencyofvibration,volumeofauxiliarychamberallaffectdynamicstiffnessofairspring.Undertheaffectionofeachfactor,thechangecurvesoflineariedmodelandthatofnonlinearmodelareclosedonthewhole.Keywords：Airspring;Auxiliarychamber;Dynamicstiffness;Lineariedmodel0引言空气弹簧是典型的非线性系统，主要表现在材料非线性、几何非线性和状态非线性，对于带附加气室空气弹簧还存在节流孔流量特性的非线性。为了探究带附加气室空气弹簧系统的动力学特性，近年来国内外学者进行了大量研究。KatsuyaToyofuku利用实验的方法研究了主、附加气室连接管路长度、节流孔开度、激振频率等参数对空气弹簧动刚度的影响，发现高频激振时，由于连接管内空气发生自激振荡，附加空气室实际起不到调节弹簧动刚度的作用[1]；Quaglia.G.和Soli.M.建立了带附加气室1/4空气弹簧车辆悬架系统的无量纲数学模型，研究发现节流孔开度、附加气室容积等参数均会影响空气弹簧动态特性[2,3]；国基金项目:教育部优秀青年教师计划项目(20011829)第一作者：王家胜男博士生1976年9月生*通讯作者：朱思洪男博士生导师1962年7月生内许多学者也分别利用理论和实验的方法对带附加空气室空气弹簧系统的刚度特性和阻尼特性进行了研究，，获得了一些有价值的研究结果[4~8]。为了从理论上分析带附加气室空气弹簧的动态特性，需要建立基于热力学和流体动力学的理论模型，由于非线性模型在数学处理上的复杂性，使得对空气弹簧模型的分析以及基于模型的控制造成一定困难。线性理论的发展相对较成熟，不仅能对线性化模型在时域内分析，也可将其拉普拉斯变换转换到复数域进行频率响应分析。如果非线性系统在一定条件下近似地用线性化模型表示后，能够在一定范围内保证模型的精度，则可以用线性化理论对系统进行分析和研究，这样既简化了问题，又能在一定程度上反映系统的一般特性。本文是在建立带附加气室空气弹簧动刚度非线性模型的基础上，根据数学级数理论用小偏差线性化方法对模型进行线性化处理，得到弹簧系统动刚度的线性化模型；通过一计算实例对线性化模型的精度进行验证，并分析了空气弹簧动刚度的影响因素和影响规律，为进一步研究空气弹簧的动力学特性和控制提供了理论基础和依据。1线性化模型的建立1.1空气弹簧动力学方程及其线性化图1带附加气室空气弹簧结构示意图Ps，Pa－主、附加气室内压（绝对）Vs，Va－主、附加气室容积ms，ma－主、附加气室空气质量F－弹簧垂向作用力h－弹簧高度图1为带附加气室空气弹簧物理模型，它由主气室、附加气室及节流孔组成。弹簧振动过程中，空气在压力差的作用下经节流孔在两气室之间流动，流动过程中会产生阻尼，同时还会影响弹簧的刚度。根据热力学理论，空气弹簧产生的垂向力F是由主气室的内压力Ps和空气弹簧有效面积Ae决定：e（1）sAPPF)(0−=P0为标准大气压力。根据泰勒级数理论，利用小偏差线性化方法对（1）式线性化处理，得其增量方程：seesPAAPPF000)(+−=（2）Ps0、Ae0分别为平衡位置时主气室压力和有效面积，sF、eA、P分别表示对应变量相对平衡位置的的增量（以下凡出现变量符号上端加短平线的均表示为原变量相对平衡位置的增量，变量符号下标加0的表示对应变量在平衡位置取值）。方程（2）两端对时间求导得：seesPAAPPF&&&000)(+−=（3）1.2主气室动力学方程及其线性化主气室内气体是一变质量开口系统，假设工作气体为理想气体，根据变质量系统的气体状态微分方程和能量方程化简积分可得绝热过程的方程[9,10]：000kkssssrrssVVPPmm==const（4）式中k=1.4，为绝热指数，r=(T’/Ts)k，Ts为主气室温度，T’为流入或流出空气的温度（Ts、T’均为绝对气温），正常工作中，1≤T’/Ts1.1，所以r≈k，因此由（4）式可得：000kkssssssVVPPmm⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=const（5）由（5）式得：ksskssssVmmVPP⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=000（6）对（6）式线性化处理得其增量方程：空气弹簧主气室附加气室节流孔PsVsmsPaVamahF-FsssssssVVkPmmkPP0000−=（7）对（7）式两端求导得：sssssssVVkPmmkPP&&&0000−=（8）1.3附加气室动力学方程及其线性化主气室动态方程同样适用于附加气室，由于附加气室是刚性气室，Va=Va0，所以气室内压力可表示为：kaaaammPP⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=00（9）其线性化增量方程为：aaaammkPP00=（10）由于附加气室空气质量相对平衡位置的增加量与主气室空气减少的质量相等，即samm−=，所以（10）式又可以表示为：saaammkPP00−=（11）1.4节流孔动力学方程及其线性化节流孔的通流能力可用质量流量来表示，即单位时间内流过节流孔的气体的质量。节流孔的质量流量与许多因素有关，在工程上，圆形节流孔质量流量可由以下公式表示[11]：当518.012PP时)(1211211221211PPsignPPPPkkRTPAGkkko−⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=+(12)当518.012≤PP时)(12112121111PPsignkkRTkPAGko−⋅+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−（13）式中G为质量流量，Ao为节流孔有效截面积，P1=max{PsPa}，P2=min{PsPa}，T1=max{TsTa}。Ts、Ta分别表示主附加气室温度。为了简化计算，节流孔质量流量大小可看成与孔两端压力差的指数成正比关系，然后再对其线性化处联合方程（2）、（7）、（10）可得：理可表示为：)(asoPPAG−−=γ（14）ssaaseesaseasasVVkPmmAAPPmmFAmmPP000000000000)(111+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−（16)即质量流量与节流孔两端压力差成正比，γ为节流孔流量修正系数。由于节流孔的质量流量就是主气室和附加气室空气质量的变化率，所以：再联合方程（7）、（14）、（15）、（16）得：Gms=&（15）1.5空气弹簧动刚度线性化模型的建立ss00ss00000000000000V111VVkPVkPmmAAPPmmFAmmAmkPPssaseesaseasosss&&−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=＋γ（17）式中空气弹簧有效面积增量eA和和容积增量sV随弹簧高度的变化而变化，小振幅条件下它们可以近似看成弹簧高度的线性函数，所以：{hAhAhVhVeess&&&&ββαα====（α、β由空气弹簧的实验特性曲线获得）（18）联合方程（17）、（18）并代入方程（3）整理后得：()()()hmPPkPmmVmAkPAhVAkPPPFmAkPmmFsssassaesosesssosas⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++0000000002000000000011βαγαβγ&&（19）方程（19）表达了空气弹簧弹性力增量与弹簧高度增量之间变化关系的一阶线性微分方程，对（19）式进行拉普拉斯变换，转换到复数域（符号下标加L表示拉氏变换后的量）：()()()LsssassaesLsessLssasLhmPPkPmmVmAkPAshVAkPPPFmAkPmmsF⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++000000000200000000000011βαγαβγ（20）所以带附加气室空气弹簧动刚度在复数域中表示为：()()()0000000000000200000011)(sosassssassaesosessLLdmAkPmmsmPPkPmmVmAkPAsVAkPPPhFsKγβαγαβ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−==r（21）由传递函数与频率特性之间的关系，得弹簧动刚度的频率特性：φωωωωjdjsddejKsKjK)(|)()(rrr===（22）)(ωjKdr为动刚度的模，表示动刚度的大小；φ表示弹簧高度的与弹性力之间的相位差。()()()212000022220000000002022220000011)(⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=ssasosssassaesosessdmkPmmAmP