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二次函数图像的平移和对称【例1】如图，ABCD中，4AB，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线2yaxbxc经过x轴上的点A，B．⑴求点A，B，C的坐标．⑵若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．DCBAO【例2】抛物线254yaxxa与x轴相交于点AB、，且过点54C，．⑴求a的值和该抛物线顶点P的坐标．⑵请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．【例3】对于任意两个二次函数：2211112222120yaxbxcyaxbxcaa，，当12aa时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有ABM，1010AB，，，，记过三点的二次函数抛物线为“C”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．图3图2图1yxOABMyxOABMMNBAOxy⑴若已知01M，，ABMABN≌（图1），请通过计算判断ABMC与ABNC是否为全等抛物线；⑵在图2中，以ABM、、三点为顶点，画出平行四边形．①若已知0Mn，，求抛物线ABMC的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与ABMC全等的抛物线解析式．②若已知Mmn，，当mn、满足什么条件时，存在抛物线ABMC？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与ABMC全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C”；若不存在，请说明理由．【例4】已知：抛物线2:(2)5fyx．试写出把抛物线f向左平行移动2个单位后，所得的新抛物线1f的解析式；以及f关于x轴对称的曲线2f的解析式．画出1f和2f的略图，并求：⑴x的值什么范围，抛物线1f和2f都是下降的；⑵x的值在什么范围，曲线1f和2f围成一个封闭图形；⑶求在1f和2f围成封闭图形上，平行于y轴的线段的长度的最大值．Oyxg(x)=-x2+5h(x)=(x-2)2-5二次方程根的判别式一、一元二次方程实数根个数的判定【例5】当a、b为何值时，方程2222(1)34420xaxaabb有实根？【例6】已知0a，bac，判断关于x的方程20axbxc的根的情况，并给出必要的说明．【例7】如果方程22210mxmxm，只有一个实数根，那么方程21220mxmxm（）．A．没有实数根B．有2个不同的实数根C．有2个相等的实数根D．实数根的个数不能确定【例8】若二次方程2220xpxq有实根，其中p，q为奇数，证明：此方程的两个根都是无理数．【例9】是否存在质数pq，，使得关于x的一元二次方程20pxqxp有有理数根？二、一元二次方程中字母参数的确定【例10】已知关于x的方程22(21)10kxkx有两个不相等的实数根12xx，．⑴求k的取值范围；⑵是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【例11】已知关于x的方程22()210mmxmx有两个不相等的实数根．⑴求m的取值范围；⑵若m为整数，且3m，a是上述方程的一个根，求代数式22212334aaa的值．【例12】使得关于x的一元二次方程22(4)60xkxx无实数根的最小整数k（）A．-1B．2C．3D．4【例13】已知：m、n为整数，关于x的二次方程2(7)30xmxn有两个不相等的实数解，2(4)60xmxn有两个相等的实数根，2(4)10xmxn没有实数根，求m、n的值．【例14】若关于x的方程220xpxq和220xqxp都没有实数根（p、q是实数），⑴问式子qppq是否总有意义，说明理由．⑵问pq是否可以是整数，若可以，当pq为整数时，求ppqqpqqp的值；若pq不可以为整数，说明理由．【例15】已知24bac是一元二次方程200axbxca的一个实数根，则ab的取值范围为（）．A．18ab≥B．18ab≤C．14ab≥D．14ab≤三、一元二次方程与三角形三边关系的综合【例16】在等腰ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a，b和c是关于x的方程21202xmxm的两个实数根，求ABC的周长．【例17】已知：a、b、c分别是ABC的三边长，当0m时，关于x的一元二次方程22()()20cxmbxmamx有两个相等的实数根，求证：ABC是直角三角形．【例18】关于x的一元二次方程204acacxbx有两个相等的实数根，则以a，b，c为三边的三角形的形状是______．【例19】已知a、b、c是ABC的三边的长，且方程22()()()0xbcxabca有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【例20】已知a、b、c是ABC的三边，其中1a，4c，且关于x的方程240xxb有两个相等的实数根，试判断ABC的形状．【例21】如果关于x的方程0xaxbxbxcxcxa（其中a，b，c均为正数）有两个相等的实数根．证明：以a，b，c为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征．【例22】已知关于方程21(21)4()02xkxk⑴求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；⑵若等腰ABC的一边长为4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．【例23】已知关于x的方程2(2)20xkxk⑴求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；⑵若等腰三角形ABC的一边长1a，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长．二次方程根与系数的关系一、已知一元二次方程的一根求另一根【例24】已知关于x的方程220xkx的一个解与方程131xx解相同．⑴求k的值；⑵求方程220xkx的另一个解．【例25】若方程240xxc的一个根为23，则方程的另一个根为，c．，1c二、确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【例26】已知关于x的方程2210xmxm的两个实数根的平方和为23，求m的值【例27】已知关于x的方程22210xxk的两根平方差等于2，求k的值．【例28】已知关于x的方程222(2)50xmxm有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值．【例29】已知m，n是有理数，并且方程20xmxn有一个根是52，那么mn_______．【例30】已知关于x的方程24832xnxn和223220xnxn，是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由．【例31】已知方程20xaxb的根是a和c，方程20xcxd的根是b和d．其中，a、b、c、d为不同实数，求a、b、c、d的值．【例32】已知关于x的方程2212110txtx的两根倒数之和大于0，求t的取值范围．【例33】关于x的二次方程2251xxm有实根和，且||||6≤，确定m的取值范围．【例34】已知1x、2x是关于x的一元二次方程2244(1)0xmxm的两个非零实数根，问：1x与2x能否同号？若能同号请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．【例35】若实数a使得对于每一个实数z，关于x、y的方程组22231xayzxyzz总有实数解，则a的取值范围是__________．三、求与一元二次方程两根有关的代数式的值【例36】若1ab，且有25200190aa及29200150bb，则ab，1ab．【例37】设实数,st分别满足2199910ss，299190tt并且1st，求41stst的值．【例38】设方程2(1998)1997199910xx的大根为a，方程2199819900xx的小根为b，则ab_____________．【例39】设1x、2x是方程23560xx的两根，则代数式122121xx的值是，代数式1221xxxx的值是．【例40】已知，是一元二次方程210xx的两个根，求5325的值．【例41】已知m是不等式组210430mm的整数解，、是关于x的方程20xmxm的两个实根，求：⑴33的值；⑵43的值．【例42】已知x、y均为实数，且满足17xyxy，2266xyxy．求432234xxyxyxyy的值．【例43】设a、b、c、d为互不相等的实数，且22221acad，22221bcbd，则2222abcd（）．A．0B．1C．1D．无法确定四、根据一元二次方程的两根构造一元二次方程【例44】设20xpxq的两实数根为、，那么33、为两根的一元二次方程是____________．【例45】已知方程2980xx，求作一个一元二次方程，使它的一个根为原方程两个根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．【例46】求一个一元二次方程，使它的两个根是32和3．【例47】已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实根为p、q，且22156pqppqpq，试求这个一元二次方程．【例48】已知关于x的方程24470xbxb有两个相等的实数根，1y、2y是关于y的方程2240yby的两个根，求以1y，2y为根、二次项系数为2一元二次方程．五、根与系数关系的其他应用【例49】当a取遍0到5的所有实数时，满足3(38)baa的整数b的个数是_____.【例50】已知方程240axxb(0)a的两实根为1x、2x，方程230axxb的两实根为、．⑴若a、b均为负整数，且||1，求a、b的值；⑵若12，12xx，求证：1221xx．【例51】已知ab，为正整数，关于x的方程220xaxb的两个实数根为12xx，，关于y的方程220yayb的两个实数根为12yy，，且满足11222008xyxy．求b的最小值．【例52】设实数a、b、c满足0abc，2abc．则333||||||uabc的最小值为___________．【例53】已知abc，1abc，2223abc．求证：2132bc．【例54】已知2007()2007()()0()abbccaab，求2()()()cbcaab的值．【例55】如果方程20(0)axbxca的根之比等于常数k，则系数a，b，c之间的关系是____________．公共根与整根一、一元二次方程的公共根【例56】求k的值，使得一元二次方程210xkx，2(2)0xxk有相同的根，并求两个方程的根．【例57】设,,abc为ABC的三边，且二次三项式222xaxb与222xcxb有一次公因式，证明：ABC一定是直角三角形．【例58】三个二次方程20axbxc，20bxcxa，20cxaxb有公共根．⑴求证：0abc；⑵求333abcabc的值．【例59】试求满足方程270xkx与26(1)0xxk有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根．【例60】二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0axaxaa和222(1)(2)(2)0bxbxbb(其中a，b为正整数)有一个公共根，求babaabab的值．二、一元二次方程的整数根【例61】已知p为质数，使二次方程222510xpxpp的两根都是整数，求出