通信原理 樊昌信 第3章_随机过程_[1]..

1通信原理第3章随机过程随机变量(回顾)一、随机变量,()XpxX,(,),()XYpx,yXY,()=()()px,ypxpy|x，当X,Y独立时()=()()px,ypxpy二、分布函数()XrFxPXx三、概率分布密度()()XXdFxpxdx{}()brXaPaxbpxdx()0()1XXpxpxdx33.1随机过程的基本概念确定性过程随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：4定义1.随机过程的每一个记录都是一个确定的函数xi(t),称为样本函数,或随机过程的一次实现.全部样本函数的总体{x1(t),x2(t),…,xi(t)…}就是一个随机过程.记为(t).样本函数xi(t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。()tt012()()()nttt角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。5定义2:随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合随机过程在任意时刻的值是一个随机变量,即(t)在t=t1时刻表现为一个随机变量(t1).角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。6(t)：随机过程(t1)：随机变量随机过程(t)的一维分布函数：随机过程(t)的一维概率密度函数：])([),(11111xtPtxF1111111),(),(xtxFtxf3.1.1随机过程的分布函数7随机过程(t)的二维分布函数：随机过程(t)的二维概率密度函数：随机过程(t)的n维分布函数：随机过程(t)的n维概率密度函数：221121212)(,)(),,;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxfnnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,,)(,)(),,;,,,(22112121n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(xxttxxFttxxf，，，；，，，，，，；，，，3.1.1随机过程的分布函数8均值（数学期望）：在任意给定时刻t1的取值(t1)是一个随机变量，其均值dxtxxftE),()(1111111),()(dxtxfxtE3.1.2随机过程的数字特征()tt012()()()nttt(t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示随机过程的样本函数曲线的摆动中心。a(t)9方差方差常记为2(t)。这里也把任意时刻t1直接写成了t。因为所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。2)]()([)]([tatEtD)()]([)(2)]([2222222tatξEtatξEtatξEtatξtatξEtξD212)]([),(tadxtxfx均方值均值平方3.1.2随机过程的数字特征10相关函数R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。协方差函数式中a(t1)a(t2)－在t1和t2时刻得到的(t)的均值f2(x1,x2;t1,t2)－(t)的二维概率密度函数。2121212212121),;,()]()([),(dxdxttxxfxxttEttR21212122211221121),;,()]()][([])()()][()([),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB3.1.2随机过程的数字特征11相关函数和协方差函数之间的关系若a(t1)=0或a(t2)＝0，则B(t1,t2)=R(t1,t2)因此通常用R(t1,t2)来表示随机过程在不同时间点的相关特征互相关函数式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。R(t1,t2)又称为自相关函数。)()(),(),(212121tatattRttB)]()([),(2121ttEttR3.1.2随机过程的数字特征123.2.1平稳随机过程的定义若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。),,,,,,(),,,,,,(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；；3.2平稳随机过程13平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。它的一维分布函数与时间t无关：二维分布函数只与时间间隔=t2–t1有关：)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxf性质14数字特征：可见，（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。广义平稳随机过程——同时满足（1）和（2）的随机过程。严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。adxxfxtE1111)()()();,()]()([),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR15能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳随机过程的数字特征呢?具有“各态历经性”（又称“遍历性”）的随机过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。3.2.2各态历经性16各态历经性条件设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本）时间均值的定义：时间相关函数的定义：如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。2/2/)(1lim)(TTTdttxTtxa)()(RRaa3.2.2各态历经性2/2/)()(1lim)()()(TTTdttxtxTtxtxR17“各态历经”的含义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。各态历经的随机过程一定是平稳过程在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。3.2.2各态历经性18[例3-1]设一个随机相位的正弦波为其中，A和c均为常数；是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。【解】(1)先求(t)的统计平均值，证明其平稳性：数学期望)cos()(tAtc2021)cos()]([)(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0]sinsincos[cos22020dtdtAcc例题19自相关函数令t2–t1=，得到可见，(t)的数学期望为常数，自相关函数与t无关，只与时间间隔有关，所以(t)是广义平稳过程。0)(cos221]2)(cos[2)(cos2]}2)(cos[)({cos2)]cos()cos([)]()([),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc例题20(2)再求(t)的时间平均值，证明其各态历经性比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。220)cos(1limTTcTdttATa22])(cos[)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222})22cos(cos{2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaa例题21实平稳过程的自相关函数：性质：—(t)的平均功率—的偶函数—R()的上界（可以证明）自相关函数R()在=0有最大值。—(t)的直流功率—(t)的交流功率当均值为0时，R(0)=2)]([)0(2tER)()(RR)0()(RR22)]([)(atER2)()0(RR3.2.3平稳过程的自相关函数)]()([)(ttER)()()(22tEtEtD)()0(RR22对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度定义为FT(f)是f(t)的截短函数fT(t)所对应的频谱函数平稳随机过程(t)的功率谱密度定义为：TfFmilfPTTf2)()(t02T2T()ft()Tft3.2.4平稳过程的功率谱密度TfFEmilfPEfPTTf2)()()(23维纳-辛钦关系dePRdeRPjj)(21)()()(－)()(fPR功率谱密度的计算dfefPRdeRfPjj)()()()(－24平稳过程的总功率：——从频域的角度给出了平均功率的计算法。各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。（证明见教材）功率谱密度P(f)具有非负性和实偶性这与R()的实偶性相对应。dffPR)()0(0)(fP)()(fPfP功率谱密度的计算25[例3-2]求随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)的功率谱密度。[解]在[例3-1]中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出其相关函数为已知功率谱密度:平均功率:cARcos2)(2)()(PR)]()([cosccc)]()([2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRS例题263.3.1定义如果随机过程(t)的任意n维（n=1,2,...）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。n维正态概率密度函数：式中njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121))((21exp...)2(1),...,,,...,,(；22])([)],([kkkkkatEtEa3.3高斯随机过程（正态随机过程）27式中|B|－归一化协方差矩阵的行列式，即|B|jk－行列式|B|中元素bjk的代数余因子bjk－为归一化协方差函数，即11121221112nnnnbbbbbbBkjkkjjjkatatEb]})(][)({[3.3.1定义28(1)高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。(2)广义平稳的高斯过程也是严平稳的。(3)如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有jk，有bjk=0，则其概率密度不同时刻的取值是不相关统计独立(4)高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。3.3.2重要性质),...,,;,...,,(2121nnntttxxxfnax1k2k2kkk]2)(exp[21),(),(),(2211nntxftxftxf29定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量一维概率密度函数为a－均值2－方差221()()exp22xafx12xao()fx3.3.3高斯随机变量30性质f(x)对称于直线x=aa表示分布中心，称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着的减小而变高和