通信原理 随机信号分析

天津工业大学信息学院《通信原理》13.2概率论的基本概念3.3随机过程的基本概念3.4平稳随机过程3.5平稳随机过程的相关函数与功率谱密度3.6高斯过程3.7窄带随机过程3.8正弦波加窄带高斯噪声3.9随机过程通过线性系统第3章随机信号分析天津工业大学信息学院《通信原理》2第3章随机信号分析本章重点1.随机过程：概念，统计特性，数字特征。2.平稳随机过程：定义（广义、狭义），各态历经性，相关函数，功率谱密度。3.随机过程通过线性系统的有关计算。4.窄带平稳高斯随机过程的有关结论。天津工业大学信息学院《通信原理》33.2概率论的基本概念1.随机变量2.随机变量的统计特性（1）离散随机变量（2）模拟随机变量3.随机变量的数字特征（1）均值（数学期望）E（2）方差D[ξ]（3）协方差（4）相关函数天津工业大学信息学院《通信原理》43.3随机过程的基本概念确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数。通信中的干扰是随机信号，通信中的有用信号也是随机信号。描述随机信号的数学工具是随机过程，基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推广到时间函数。天津工业大学信息学院《通信原理》5设随机试验E的可能结果为ξ(t)，试验的样本空间S为{x1(t),x2(t)，…,xn(t),…}，xi(t)是第i次试验的样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作ξ(t)。1.随机过程的数学定义天津工业大学信息学院《通信原理》6随机过程举例：天津工业大学信息学院《通信原理》7随机过程基本特征随机过程具有随机变量和时间函数的特点：第一，它是一个时间函数；第二，在固定的某一观察时刻t1，ξ(t1)是随机变量。天津工业大学信息学院《通信原理》82.随机过程的统计描述设ξ(t)表示随机过程，在任意给定的时刻t1∈T，ξ(t1)是一个一维随机变量。一维分布函数：随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率，即F1(x1,t1)=P［ξ(t1)≤x1］一维概率密度函数1111111),(),(xtxFtxf天津工业大学信息学院《通信原理》9n维分布函数：nnnnnnxxxtttxxFtttxxxf...)...,...;,()...,,;...,,(212,1212121})(,)(,)({)...,,;...,,(22112121nnnnnxtxtxtPtttxxxFn维概率密度函数天津工业大学信息学院《通信原理》103.随机过程的一维数字特征数学期望)(),()]([1tadxtxxftE21)]([),(2tadxtxfx2)()()]([tatEtD方差天津工业大学信息学院《通信原理》114.随机过程的二维数字特征自协方差函数B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝自相关函数R(t1,t2)=E｛ξ(t1)ξ(t2)｝设ξ(t)和η(t)分别表示两个随机过程，互相关函数Rξη(t1,t2)=E［ξ(t1)η(t2)]天津工业大学信息学院《通信原理》12例题例3-1.求下列均匀概率密度的数学期望和方差。aaxaaxf其它021)(例3-2.P473.1天津工业大学信息学院《通信原理》133.4平稳随机过程1.狭义平稳随机过程统计特性不随时间的推移而变化的随机过程称为平稳随机过程。设随机过程ξ(t),若对于任意n和任意选定t1＜t2＜…＜tn,tk∈T，k=1,2,…,n，以及τ为任意值，且x1,x2,…,xn∈Rfn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=fn(x1,x2,…,xn;t1+τ,t2+τ,…,tn+τ)则称ξ(t)是平稳随机过程（狭义）。天津工业大学信息学院《通信原理》14平稳随机过程的定义说明：当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的。推论：一维分布与时间t无关，二维分布只与时间间隔τ有关。从而有R(t1,t2)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］=R(t1,t1+τ)=R(τ)adxxfxtE1111)()]([天津工业大学信息学院《通信原理》152.广义平稳随机过程平稳随机过程的定义对于一切n都需成立，这在实际应用上很复杂。由平稳随机过程的均值是常数，自相关函数是τ的函数还可以引入另一种平稳随机过程的定义：若随机过程ξ(t)的均值为常数，自相关函数仅是τ的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。天津工业大学信息学院《通信原理》16平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”。若平稳随机过程的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代，则称平稳随机过程具有“各态历经性”。3.各态历经性天津工业大学信息学院《通信原理》17各态历经随机过程2/2/)(1)(limTTTdttxTtxa2/2/)()(1)()()(limTTTdttxtxTtxtxR“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，我们无需获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。天津工业大学信息学院《通信原理》183.5平稳过程的相关函数与功率谱密度自相关函数定义：R(τ)=E［(ξ(t)ξ(t+τ)］自相关函数的意义：平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过自相关函数来描述自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。天津工业大学信息学院《通信原理》19自相关函数主要性质：R(0)=E[ξ2(t)]=S------ξ(t)的平均功率R(τ)=R(-τ)------偶函数|R(τ)|≤R(0)------上界R(∞)=E2[ξ(t)]------ξ(t)的直流功率R(0)-R(∞)=σ2------ξ(t)的交流功率。ξ(t)的任一样本函数的功率谱密度为式中，FT(ω)是fT(t)的频谱函数；fT(t)是f(t)的短截函数；f(t)是ξ(t)的任一实现。TFPTTs2)()(lim天津工业大学信息学院《通信原理》20由于ξ(t)是无穷多个实现的集合，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即TFEPEPTTs2)()]([)(limdTFEdpSTT2)(21)(21limξ(t)的平均功率S可表示成天津工业大学信息学院《通信原理》21由ξ(t)功率谱密度的定义，很难直接计算功率谱。确知信号的自相关函数与其功率谱密度是傅氏变换对。对于平稳随机过程，也有类似的关系，即deRPj)()(TFET2)(2/2/'2/2/')'()(1TTtjTTTtjTdtetdtetTE2/2/2/2/)'(')'(1TTTTttjdtdtettRTE天津工业大学信息学院《通信原理》22利用二重积分换元法，则上式可化简成：于是简记为R(τ)Pξ(ω)。上称为维纳-辛钦关系，在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。它是联系频域和时域的基本关系式。''2)(1)(TTjTdeRTTFETFEpTT2)()(limdeRj)(天津工业大学信息学院《通信原理》233-3随机相位余弦波ξ(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。求ξ(t)的自相关函数与功率谱密度。解：(1)先考察ξ(t)是否广义平稳。ξ(t)的数学期望为dtAtEtac21)cos()]([)(20dttAcc)sinsincos(cos220常数）(0]sinsin(cos[cos22020dtdtAcc例题天津工业大学信息学院《通信原理》24ξ(t)的自相关函数为：)]()([),(2121ttEttR)]sin()[sin(2010ttE)]sin()[sin(000ttE0cos21令t1=t,t2=t+τ,经过推导得：例题3-3天津工业大学信息学院《通信原理》25deRPj)()(因为cosωcτπ[δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)]所以，Pξ(ω)=[δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)]2仅与τ有关。由此看出，ξ(t)是宽平稳随机过程。它的功率谱密度为：例题3-3天津工业大学信息学院《通信原理》26例题3-4有一种宽带噪声（白噪声），它的功率谱密度为2)(P0nn（双边带），求相关函数。天津工业大学信息学院《通信原理》271.定义——若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1,2,…）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示如下：fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)§3.6高斯过程212121...)2(1Bn)])((21exp[.11kkkjkjnkjknjaxaxBB天津工业大学信息学院《通信原理》28式中,ak=E{ξ(tk)}，σ2k=E{[ξ(tk)-ak]2，|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即B…1b12…b1nB211…b2nBn1bn2…1………|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子，bjk为归一化协方差函数：jkkkjjjkatatEb])(][)([天津工业大学信息学院《通信原理》292.高斯过程的特点：高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。如果过程是宽平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的M维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，则即对所有j≠k，有bjk=0，于是天津工业大学信息学院《通信原理》30=f(x1,t1)·f(x2,t2)…f(xn,tn)这就是说，如果高斯过程中的随机变量是互不相关的，则它们也是统计独立的。fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=njjjjnjjnax122122)(exp)2(1Njjjjjax1222)(exp21天津工业大学信息学院《通信原理》31常用的是高斯过程的一维分布。高斯过程在任一时刻上的样值是一维高斯随机变量，其概率密度函数可表示为概率密度函数的曲线为222)(exp21)(axxff(x)12Oax天津工业大学信息学院《通信原理》32特点f(x)对称于x=a这条直线;，a表示分布中心，σ表示集中程度，f(x)图形将随着σ的减小而变高和变窄。当a=0，σ=1时，称f(x)为标准正态分布的密度函数;正态分布函数1)(dxxf21)()(00dxxfdxxfaxdzazxFx222)(exp21)(天津工业大学信息学院《通信原理》33这里的称为正态概率积分。这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下特殊函数：xzdzx22exp21天津工业大学信息学院