概率统计与随机过程 1.3-4

1§1.3条件概率引例袋中有7只白球，3只红球；白球中有4只木球，3只塑料球；红球中有2只木球，1只塑料球.现从袋中任取1球，假设每个球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球，问它是木球的概率是多少？等可能概型设A表示任取一球，取得白球；B表示任取一球，取得木球条件概率与乘法公式2所求的概率称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。记为ABP解列表白球红球小计木球426塑料球314小计731074ABP,4ABABnn,7AAnn3)()(74APABPnnnnnnABPAABAAB定义设A、B为两事件,P(A)0,则称)()(APABP为事件A发生的条件下事件B发生的条概率，记为ABP条件概率的计算方法（1）等可能概型可用缩减样本空间法（2）其他概型用定义与有关公式4条件概率也是概率，它符合概率的定义，具有概率的性质：0)(ABP1)(AP11iiiiABPABP非负性规范性可列可加性)()()()(212121ABBPABPABPABBP)(1)(ABPABP)()()(21121ABBPABPABBP5利用条件概率求积事件的概率就是乘法公式)0)(()()(APABPAPABP)0)(()()(BPBAPBPABP推广)0)(()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP乘法公式6已知某厂生产的灯泡能用到1000小时的概率为0.8,能用到1500小时的概率为0.4,求已用到1000小时的灯泡能用到1500小时的概率解令A灯泡能用到1000小时B灯泡能用到1500小时所求概率为)()(APABPABPAB218.04.0)()(APBP例17例2一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取产品，每次1个，求（1）取两次，两次都取得一等品的概率（2）取两次，第二次取得一等品的概率（3）取三次，第三次才取得一等品的概率（4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率解令Ai为第i次取到一等品（1）1034253)()()(12121AAPAPAAP)()()()(212121212AAPAAPAAAAPAP（2）53425343528(3)213121321)(AAAPAAPAPAAAP101334152(4))()()()()(221222121APAAPAPAPAAPAAP21153103提问：第三次才取得一等品的概率，是?)()(321213AAAPAAAP还是（2）直接解更简单53)(2AP9例3某人外出旅游两天，需要知道两天的天气情况，据天气预报，第一天下雨的概率为0.6,第二天下雨的概率为0.3,两天都下雨的概率为0.1.求第一天下雨时，第二天不下雨的概率解设A1,A2分别表示第一天下雨与第二天下雨)()()()()()(121112112APAAPAPAPAAPAAP656.01.06.07.0)(2AP10一般地，条件概率与无条件概率之间的大小无确定的关系上例中)(616.01.0)()()(212112APAPAAPAAP)()()()()(BPAPBPAPABPABP若AB11例4为了防止意外，矿井内同时装有两种报警设备A与B,已知设备A单独使用时有效的概率为0.92,设备B单独使用时有效的概率为0.93，在设备A失效的条件下，设备B有效的概率为0.85,求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率。设事件A,B分别表示设备A,B有效85.0ABP92.0AP93.0BP已知求BAP12解由)(1)()(APABPBPABP08.0)(93.085.0ABP即862.0)(ABP故988.0862.093.092.0)()()()(ABPBPAPBAP解法二BAP988.0)(BAP)()()(ABPAPBAP012.085.0108.0)(1)(ABPAP13B1B2BnAB1AB2ABnjiniiBBB1))((1jiniiABABABAniiABPAP1)()()()(1iniiBAPBP全概率公式ABayes公式)(ABPk)()(APABPkniiikkBAPBPBAPBP1)()()()(§1.4全概率公式与Bayes公式14每100件产品为一批，已知每批产品中的次品数不超过4件，每批产品中有i件次品的概率为i01234P0.10.20.40.20.1从每批产品中不放回地取10件进行检验，若发现有不合格产品，则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格。求（1）一批产品通过检验的概率（2）通过检验的产品中恰有i件次品的概率例515解设一批产品中有i件次品为事件Bi,i=0,1,…,4A为一批产品通过检验4,3,2,1,0,,,,1jijiBBBAjinii则已知P(Bi)如表中所示，且4,3,2,1,0,)(1010010100iCCBAPii由全概率公式与Bayes公式可计算P(A)与4,3,2,1,0),(iABPi16结果如下表所示)(iBAP)(ABPi)()()(40iiiBAPBPAP814.04,3,2,1,0,)()()()(iAPBAPBPABPiiii01234P(Bi)0.10.20.40.20.11.00.90.8090.7270.6520.1230.2210.3970.1790.08017称4,3,2,1,0)(iABPi为后验概率，它是得到了信息—A发生，再对导致A发生的原因发生的可能性大小重新加以修正)()(iiBPABPi较大时，称P(Bi)为先验概率，它是由以往的经验得到的，它是事件A的原因本例中，i较小时，)()(iiBPABP186例已知由于随机干扰，在无线电通讯中发出信号“•”，收到信号“•”，“不清”，“—”的概率分别为0.7,0.2,0.1;发出信号“—”，收到信号“•”，“不清”，“—”的概率分别为0.0,0.1,0.9.已知在发出的信号中，“•”和“—”出现的概率分别为0.6和0.4，试分析，当收到信号“不清”时，原发信号为“•”还是“—”的概率大？解设原发信号为“•”为事件B1原发信号为“—”为事件B2收到信号“不清”为事件A19已知：4.0)(,6.0)(21BPBP2121,BBBBA1.0)(,2.0)(21BAPBAP16.0)()()()()(2211BAPBPBAPBPAP41)()()()(,43)()()()(222111APBAPBPABPAPBAPBPABP可见，当收到信号“不清”时，原发信号为“•”的可能性大