概率统计与随机过程 4-2

§3.4二维随机变量函数的分布问题：已知二维随机变量(X,Y)的概率特性g(x,y)为已知的二元函数，Z=g(X,Y)求：Z的概率特性方法：转化为(X,Y)的事件当(X,Y)为离散型随机变量时，Z也为离散型，),(kkjikyxgzZkkjkikkzyxgjikyYxXPzZP),(),()(,2,1k当(X,Y)为连续型随机变量时，)()(zZPzFZ)),((zYXgPzDdxdyyxf),(}),(|),{(:zyxgyxDz其中例1设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为XYpij-112-104161418112181求XYXYYXYX,,,的概率分布离散型二维随机变量的函数解根据(X,Y)的联合概率分布可得如下表格：P4141618181121X+YX-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2-101120-1213210-10-2010-10-1/20max{X,Y}-101122设X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且X,Y相互独立，则X+Y~B(n1+n2,p)关于离散型随机变量的两个重要结论：设X~P(1),Y~P(2),且X,Y相互独立，则X+Y~P(1+2)knnkiikninCCC21210问题：已知二维随机变量(X,Y)的密度函数，g(x,y)为已知的二元函数，Z=g(X,Y)求：Z的密度函数方法：从求Z的分布函数出发，将Z的分布函数转化为(X,Y)的事件建立一个新的二维随机变量(Z,X)或(Z,Y),求其边缘分布得Z的密度函数二维连续型随机变量函数的分布(1)和的分布：Z=X+Y设(X,Y)为连续型随机变量，联合密度函数为f(x,y),则•z•z)()(zZPzFZ)(zYXPzyxdxdyyxf),(xzdyyxfdx),(或yzdxyxfdy),(z特别地，若X,Y相互独立，则dxxzxfzfZ),()()3(zdyyyzfzfZ),()(或dxxzfxfzfYXZ)()()(dyyfyzfzfYXZ)()()(或)()(zfzfYX记作)()(zfzfYX记作)1(z)2(z)4(z称之为函数fX(z)与fY(z)的卷积例1已知(X,Y)的联合概率密度为其他,010,10,1),(yxyxfZ=X+Y,求fZ(z)解法一（图形定限法）其他,010,1)(xxfX其他,010,1)(yyfY显然X,Y相互独立。dxxzfxfzfYXZ)()()(10)(dxxzfY其他,0,10,1)(xzxzfYz1z=x10)(dxxzfY,20,0zz或,10,10zdxz,21,111zdxzx2121,210,20,0)(zzzzzzzfZ或解法二从定义出发，没有独立性假设)()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(当z0时，0)(zFZ1yx1当0z1时，BAZdyyxfzf),()(zdy2011yx1•z•z当1z2时，111)(zZdyzfzzfZ2)(z-11yx1•z•z1yx122当2z时，1)(zFZ0)(zfZ21,210,20,0)(zzzzzzzfZ或对于X,Y不相互独立的情形可同样的用直接求密度函数与通过分布函数求密度函数两种方法求和的分布例2已知(X,Y)的联合密度函数为其他,00,10,3),(xyxxyxfZ=X+Y,求fZ(z)解：（图形定限法）其他,00,10,3),(xxzxxxzxfdxxzxfzfZ),()(由公式（1）zxx=112当z0或z2,zzzz当0z1,22/893)(zxdxzfzzZ当1z2,)41(233)(212/zxdxzfzZfZ(z)=0其他,021),41(2310,89)(22zzzzzfZ正态随机变量的情形若X,Y相互独立,),(~),,(~222211NYNX则),(~222121NYX若(X,Y));,;,(~222211N则)2,(~22212121NYXniNXiii,,2,1),,(~2若nXXX,,,21相互独立,则),(~1211niiniiniiNX推广：已知(X,Y)的联合密度f(x,y)求Z=aX+bY+c的密度函数,其中a,b,c为常数，a,b0.).(,||1)(eazdxbcaxzxfbzfZ.).(,||1)(eazdyyacbyzfazfZ(2)极值分布：即极大值，极小值的分布对于离散型随机变量的极值分布可直接计算只讨论相互独立的随机变量的极值分布max{X,Y}P100.750.25例5X,Y相互独立,X,Y~参数为0.5的0-1分布求M=max{X,Y}的概率分布解YXpij10100.250.250.250.25对于连续型随机变量，设X,Y相互独立,X~FX(x),Y~FY(y),M=max{X,Y},N=min{X,Y},求M,N的分布函数.)},(max{)(uYXPuFM),(uYuXP)()(uYPuXP)()(uFuFYX)},(min{)(vYXPvFN)},(min{1vYXP),(1vYvXP)()(1vYPvXP))(1))((1(1vFvFYX推广至相互独立的n个随机变量的情形：nXXX,,,21相互独立，且nixFXiii,,2,1),(~设},,,min{},,,max{2121nnXXXNXXXM则niiNniiMvFvFuFuF11))(1(1)()()(例6设系统L由相互独立的n个元件组成，连接方式为(1)串联；(2)并联；(3)冷贮备(起初由一个元件工作，其它n–1个元件做冷贮备，当工作元件失效时，贮备的元件逐个地自动替换)；(4)L为n个取k个的表决系统(即n个元件中有k个或k个以上的元件正常工作时，系统L才正常工作)如果n个元件的寿命分别为nXXX,,,21niEXi,,2,1),(~且求在以上4种组成方式下，系统L的寿命X的密度函数.解其它,00,)(ixiXxexfii其它,00,1)(ixiXxexFii(1)},,,min{21nXXXXniXXxFxFi1))(1(1)(0,00,)(xxenxfxnX0,1,0,)(1xxexFxXi(2)},,,max{21nXXXXniXXxFxFi1)()(0,00,)1()(1xxeenxfnxxX0,0,0,)1(xxenx(3)nXXXX21dttxftfxfXXXX)()()(2121n=2时，tx0,00,0)(xxdteextxt0,00,xxxexdttxftfxfXXXXXX)()()(3213210,00,0)(xxdtetextxt0,00,!22xxexxX1+X2与X3也相互独立，故0,00,)!1()(1xxenxxfxnX归纳地可以证明，(4))()(xXPxFX0,0,0),(1xxxXPxkXXXPxXPn个大于中至少有,,,)(21nkjjnjjnxXPxXPC)()(110,00,11)(xxeeCxFnkjjnxjxjnXnkjjnxjxjneeCdxd1)11)1(11)(1nkjjnxxjjnxnnkjjnxjxjneejnCenejeC11)1(11)1(1nkjjnxxjjnnkjjnxjxjneejCejeCnkjjnxjxjnnkjjnxjxjneejCejeC111knxxkkneekC)1(0,00,)1()(xxeekCxfknxxkknX(3)平方和的分布：Z=X2+Y2设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)则)()(22zYXPzFZ,0),(,0,022zdxdyyxfzzyx,0,)sin,cos(,0,0020zrdrrrfdzz,0,)sin,cos(21,0,0)(20zdzzfzzfZ习题29，X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互独立，Z=X2+Y2,则,0,212121,0,0)(202sin2cos22zdeezzfzzZ,0,21,0,0)(2zezzfzZ称为自由度为2的2分布(4)商的分布：Z=X/Y习题21zyxZdxdyyxfzZPzF/),()()(yzyzyduuxfdxyduuxfdx0,),(0,),(0,),(0,),()(ydyyyyzfydyyyyzfzfZdyyyyzfzfZ||),()(例4已知(X,Y)的联合分布函数为其他,00,0,1),()(yxeeeyxFyxyx求Z=X/Y的概率密度函数解其他,00,0,),()(yxeyxfyxduuuzufzfZ||),()(其他,00,0,),()(uzeuzufuzuduuuzufzfZ||),()(uz其他,0,0,0)1(zuduezu其他,0,0,)1(12zz平方和的分布，习题2022YX)5(Z作业：Page122-124:15,17,18,22,24,28,31另一种计算fZ(z)的方法:先构造一个新的二维随机变量(Z,U),它们是(X,Y)的函数，而Z=aX+bY+c求(Z,U)的联合密度函数f(z,u)求边缘密度fZ(z)设),(),(yxruyxgz存在唯一的反函数：h,s有连续的偏导数，记uszsuhzhuzJ),(),(),(uzsyuzhx则||)),(),,((),(JuzsuzhfuzfXYUZ已知(X,Y)的联合密度fXY(x,y)求(Z,U)的联合密度函数fZU(z,u)的方法：证),(),(uUzZPuzFZU)),(,),((uYXrzYXgPdxdyyxfuyxrzyxgXY),(),(),(1111111111|),(|)),(),,((dudzuzJuzsuzhfuuzzXYzuXYdzduuzJuzsuzhf11111111|),(|)),(),,((|),(|)),(),,((),(uzJuzsuzhfuzfXYZU例2已知(X,Y)的联合