概率统计与随机过程9

第九章假设检验假设检验的提出:在实际中存在着许多不同于参数估计的问题，请看下面的例子例1.某厂有一批产品,按国家规定标准,次品率不得超过4％才能出厂.现从中任取10件进行检验(每次取1件,取后放回),发现有4件次品,问该批产品能否出厂？一般的方法是：首先假设该批产品的次品率p4%，然后利用抽样的结果来判断这一假设是否成立。从频率的角度来看，这批产品不能出厂，但我们现在所关心的问题是如何根据抽样得到的次品率4/10来推断整批产品的次品率是否超过4%例2.某车间生产的一种铜丝，其折断力服从N(570,64)。现改变生产工艺，并从新产品中抽取10个样品进行测量，得＝575.2(N),问折断力大小与原来是否相同？(假定方差不会改变)。若以X表示折断力，那么这个例子的问题就化为：如何根据抽样的结果来判断等式：“EX＝570”是否成立。x更一般的问题是：如何根据抽样的结果来判断总体X的分布函数F(x)是否等于给定的函数F0(x)。上述例子所代表的问题是很广泛的，它们的共同特点是：先对总体的参数或总体的分布函数的形式作某种假设H0，然后由抽样结果对假设H0是否成立进行推断。为此需要建立检验假设的方法。在数理统计学中，称检验假设H0的方法为假设检验。第一节假设检验的概念1.定义先对总体X的分布函数或参数提出假设,然后通过抽样并根据样本提供的信息对假设的正确性进行推断,作出接受或拒绝假设的决策.这一过程称为假设检验.2.参数假设检验和非参数假设检验3.理论依据实际推断原理:小概率事件在一次试验中(几乎)是不可能发生的.第二节正态总体均值和方差的假设检验一.设X~N(,2),而2为已知.U检验(1)已知2.待检验的假设:H0:=0,检验水平:(给定的小量)双边检验第一步提出假设H0:=0(原假设);第二步构建检验统计量0~0,1/XUNnH1:0(备选假设).第三步确定拒绝域第四步由样本提供的信息计算出的值,0/xun若则拒绝原假设(H0伪)21||uz21||uz第五步给出结论假设检验统计量拒绝域推断结论再对H0的正确性进行推断.若则接受原假设(H0真)222111{||}(,)(,)PUzuzz例1根据大量调查得知,我国健康成年男子的脉搏平均为72次/分,标准差为6.4次/分,现从某体院男生中,随机抽出25人,测得平均脉搏为68.6次/分.根据经验脉搏X服从正态分布.如果标准差不变,试问该体院男生的脉搏与一般健康成年男子的脉搏有无差异?并求出体院男生脉搏的置信区间(=0.05).0~(0,1)/xUNn解：此例是在已知=6.4的情况下，第一步检验假设H0:0=72,第二步统计量第四步现在n=25,=68.6,656.2|54.6726.68|/00nxu对于=0.05，查标准正态分布表得96.1975.021zz因为|u0|=2.6561.96，故拒绝H0.x第三步确定拒绝域拒绝域:|u|1.96第五步结论该体院男生的脉搏与一般健康成年男子的脉搏存在差异。由于1.6696.1254.66.6821znx1.7196.1254.66.6821znx所以，该体院男生脉搏的95%的置信区间为[66.1,71.1]例1某糖厂有一台自动打包机打包,额定标准每包质量为100kg.设包质量服从正态分布,且根据以往经验,其方差2＝(0.4)2.某天开工后,为检查打包机工作情况,随机地抽取9包,称得质量(单位：kg)如下：9998.5102.51019899102102.1100.5问这天打包机工作是否正常？(1=0.05,2=0.01)0~(0,1)/xUNn解：此例是在已知2=(0.4)2的情况下，第一步检验假设H0:0=100,第二步统计量第三步现在n=9,=100.29,00100.29100||2.1750.4/3xunx(1)对于=0.05，查标准正态分布表得96.1975.021zz第四步确定拒绝域拒绝域:|u|1.96(2)对于=0.01，查标准正态分布表得0.995122.58zz拒绝域:|u|2.58因为|u0|=2.1721.96，故拒绝H0.因为|u0|=2.1722.58，故接受H0.注：假设检验过程中的两类错误(判断失误)假设检验的依据是“小概率事件实际不可能发生”原理,但是小概率事件并非不可能事件,我们并不能完全排斥它发生的可能性,因而假设检验的结果就有可能出现错误。正确正确假设检验的两类错误犯第一类错误的概率为H0为真H0为假真实情况所作判断接受H0拒绝H0第一类错误(弃真)第二类错误(取伪)犯第二类错误的概率记为任何检验方法都不能完全排除犯错误的可能性.理想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小,但在样本容量给定的情形下,不可能使两者都很小,降低一个,往往使另一个增大.假设检验的指导思想是控制犯第一类错误的概率不超过,然后,若有必要,通过增大样本容量的方法来减少.在实际问题中，如何给定检验水平，应根据具体情况而定.(1)当拒绝一个属真的假设其后果非常严重时，应将取得小一些，如=0.01,=0.005等，例如，在雷达预警系统中，漏报敌人飞行器入侵是十分严重的错误，这时就要选的小一些.(2)当拒绝一个属真的假设其后果不甚严重，而“取伪”会引起严重后果时，可将取得适当大一些，如=0.05,=0.10，等。例如:在判别药品合格与否时，取伪的危害性很大，这时便要选的大一些，虽然引起经济上的损失可能大一些，但危及生命的可能性便减小了。(2)(右边检验)H0:＝0；H1：0，此时样本信息显示0H0原假设;H1备选假设第一步提出假设H0:=0(原假设);H1:0(备选假设).第二步构建检验统计量0~0,1/XUNnx第三步确定拒绝域11{}(,)PUzuz第四步由样本提供的信息计算出的值,并对H0的正确性进行推断.0/xun若则拒绝原假设(H0伪)1uz1uz第五步给出结论若则接受原假设(H0真)例2已知某零件的质量X~N(,2),由经验知=10g,2=0.05.技术改新后,抽取8个样品,测得质量(单位:g)为9.8,9.5,10.1,9.6,10.2,10.1,9.8,10.0,若方差不变,问平均质量是否比10为小？(取=0.05)解本例是一个左边检验问题,检验假设：01:10;:10HH选取统计量0/xUn在H0为真的条件下10~(0,1)/xUNn645.195.01zz由样本值计算出9.9x计算10/xUn的试验值并比较查标准正态分布表得01109.9101.261.645/0.0510xuzn故接受假设10:0H例3某厂生产的一种铜丝,它的主要质量指标是折断力大小.根据以往资料分析,可以认为折断力X服从正态分布,且数学期望EX=＝570(N),标准差是＝8(N).今换了原材料新生产一批铜丝,并从中抽出10个样品,测得折断力(单位：N)为：578572568570572570570572596584从性能上看,估计折断力的方差不会发生变化,问这批铜丝的折断力是否比以往生产的铜丝的折断力较大？(取=0.05)解：(1)假设01:570:570HH(2)计算统计量570/xn先算出x＝575.2570575.25702.055/8/10xn的值，(3)当=0.05时，查标准正态分布表得临界值10.951.645zz1z570/xn(4)比较与的值的大小。现在15702.0551.645/xzn(5)拒绝假设H0即接受H1.也就是说新生产的铜丝的折断力比以往生产的铜丝的折断力要大.以上三种检验法由于都是使用U的分布，故又名U检验法.假设检验与置信区间对照2211(,)xzxznn201xzn接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布00（2已知))1,0(~0NnXU（2已知))1,0(~NnXU原假设H0备择假设H1待估参数由于2未知，这时U已不是统计量，因此，我们很自然地用2的无偏估计量S2来代替2，选取检验函数nsxT/0为检验H0:=0的统计量。1~/ntnsxT由第七章定理四得二.2未知时，均值的假设检验1.未知方差2，检验假设H0:=0所以在H0为真时,1~/0ntnsxT类似于前面的讨论，采用双边检验，对于给定的检验水平，查t(n-1)表得121nt使得21)}1({21ntTP12{||(1)}1PTtn)}1(|{|21ntTP即得)}1(|{|210ntnsxP)}1(|{|210ntnsx是一个小概率事件0/xTsn)1(21nt)1(||21ntT)1(||21ntT由样本值算出,然后与相比较,做出判断:若,则接受假设H0.若,则拒绝假设H0;2.未知方差2，检验假设H0:=0;H1:00x(事先算出样本值,才提这样的检验假设)选取检验用的统计量1~/ntnsxT所以在H0为真时,1~/0ntnsxT类似于前面的讨论，采用单边检验，对于给定的检验水平，查t(n-1)表得11nt使得1)}1({1ntTP)}1({1ntTP即得01{(1)}/xPtnsn01{(1)}/xtnsn是一个小概率事件由样本值算出0/xTsn然后与)1(1nt相比较,做出判断:)1(1ntT10(1),()Ttnx则接受假设H0.若则拒绝假设H0,接受H1;若检验假设H0:=0;H1:00x(事先算出样本值,才提这样的检验假设)与2类似，略。3.未知方差2通常总体的方差2是未知的，所以用本法对均值进行检验及求均值的置信区间具有更大的使用价值.以上三种检验法均采用了t分布，故又名t检验法.例4在某砖厂生产的一批砖中，随机地抽取6块进行抗断强度试验，测得结果(单位：kg/cm2)如下:32.5629.6631.6430.0031.8731.03设砖的抗断强度服从正态分布,问这批砖的平均抗断强度是否为32.50(kg/cm2)?取=0.05.解：(1)假设H0:0=32.50(2)计算统计量T的值，31.13,1.13xs32.5031.1332.502.97/1.13/6xTsn(3)当=0.05时，查t分布表得0.97512(1)(5)2.57tnt(4)比较|T|与)1(21nt的大小。现在12(1)Ttn，故拒绝假设H0(5)结论：这批砖的平均抗断强度不是32.50(kg/cm2)接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布原假设H0备择假设H1待估参数00（2未知）)1(~0nTnSXT（2未知）)1(~nTnSXT21)sxtn201xtsn21(,sxtn2检验法22111()ninisxx22Es已知条件,总体X~N(,2),x1,x2,,xn为来自于总体X的样本,三.(单个)正态总体方差的假设检验1.检验假设H0:202分析：s2比较集中地反映了2的信息,若则s2与应接近,因此不能太大或太小.如太大或太小,应拒绝H0.20220/s220/s由第七章定理三知1~1222