概率统计和随机过程课件第九章 假设检验(一)

第九章假设检验(一)1§9.1假设检验的基本概念假设检验：对一个或多个总体的概率分布或参数的假设.所作的假设可以是正确的,也可以是错误的.为判断所作的假设是否正确,从总体中抽取样本,根据样本的取值,按一定的原则进行检验,然后,作出接受或拒绝所作假设的决定.何为假设检验?2例1.某厂有一批产品,按国家规定标准,次品率不得超过4％才能出厂。现从中任取10件进行检验(每次取1件，取后放回)，发现有4件次品，问该批产品能否出厂？1.问题的提出假设该批产品的次品率为p，问题：检验假设p4%是否成立？利用抽样的结果来判断这一假设是否成立。3若以X表示折断力，那么这个例子的问题就化为：如何根据抽样的结果来判断等式：“EX＝570”是否成立。例2.某车间生产的一种铜丝，其折断力服从N(570,64)。现改变生产工艺，并从新产品中抽取10个样品进行测量，得＝575.2(N),问折断力大小与原来是否相同？(假定方差不会改变)。x上述例子的共同特点是：先对总体的参数或总体的分布函数的形式作某种假设H0，然后由抽样结果对假设H0是否成立进行推断。在数理统计学中，称检验假设H0的方法为假设检验。5在假设检验中，通常把那个需要我们去检验是否为真的假设H0称为原假设或者零假设。如例1中的假设H0：p4%，例2中的假设H0：EX＝570,等等。例1，例2是对总体参数的假设进行判断，这类问题称为参数的假设检验。6检验假设的依据是“小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生”原理(概率论中称它为实际推断原理).它是指这样一个信念：概率很小的事件在一次实际试验中是不可能发生的。如果发生了，人们宁愿认为该事件的前提条件起了变化。2.假设检验的基本思想7假设检验的基本思想...因此我们拒绝假设=50...如果这是总体的假设均值样本均值=50抽样分布H0这个值不像我们应该得到的样本均值...209总体假设检验的过程抽取随机样本均值x=20我认为人口的平均年龄是50岁提出假设拒绝假设别无选择!作出决策10假设检验所以可行，其理论背景为实际推断原理，即“小概率原理”假设检验的内容参数检验非参数检验总体均值、均值差的检验总体方差、方差比的检验分布拟合检验符号检验等假设检验的理论依据11某厂生产的螺钉,按标准强度为68克/mm2,而实际生产的螺钉强度X服从N(,3.62).若E(X)==68,则认为这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求.为此提出如下假设:H0:=68称为原假设或零假设原假设的对立面:H1:68称为备择假设现从该厂生产的螺钉中抽取容量为36的样本,其样本均值为,问原假设是否正确?5.68x引例12若原假设正确,则23.6~(68,)36XN68~(0,1)3.66XN故取较大值是小概率事件683.66X因而,即偏离68不应该太远,是小概率事件,偏离较远由于()68EXX13规定为小概率事件的概率大小,通常取=0.05,0.01,…例如,取=0.05,则96.1025.0112zzc因此,可以确定一个常数c,使得683.66XPc14由(,66.824)与(69.18,+)为检验的拒绝域而区间681.963.66X69.1866.824XX或现落入接受域,则接受原假设H0:=6868.5x为检验的接受域(实际上没理由拒绝),称的取值区间(66.824,69.18)X15显著性水平和拒绝域(双侧检验)0临界值临界值/2/2样本统计量拒绝H0拒绝H0抽样分布1-置信水平16显著性水平和拒绝域(双侧检验)0临界值临界值/2/2样本统计量拒绝H0拒绝H0抽样分布1-置信水平17显著性水平和拒绝域(双侧检验)0临界值临界值/2/2样本统计量拒绝H0拒绝H0抽样分布1-置信水平18由引例可见,在给定的前提下,接受还是拒绝原假设完全取决于样本值,因此所作检验可能导致以下两类错误的产生：第一类错误弃真错误第二类错误取伪错误19H0为真H0为假真实情况所作判断接受H0拒绝H0正确正确第一类错误(弃真)第二类错误(取伪)假设检验的两类错误犯第一类错误的概率通常记为犯第二类错误的概率通常记为20H0:无罪假设检验中的两类错误(决策结果)陪审团审判裁决实际情况无罪有罪无罪正确错误有罪错误正确H0检验决策实际情况H0为真H0为假未拒绝H0正确决策(1–)第Ⅱ类错误()拒绝H0第Ⅰ类错误()正确决策(1-)假设检验就好像一场审判过程统计检验过程错误和错误的关系你不能同时减少两类错误!和的关系就像翘翘板，小就大，大就小22希望所用的检验方法尽量少犯错误,但不能完全排除犯错误的可能性.在样本的容量给定的情形下,不可能使两者都很小,降低一个,往往使另一个增大.假设检验的指导思想是:控制犯第一类错误的概率不超过,然后,若有必要,通过增大样本容量的方法,减少.23所以,拒绝H0的概率为,又称为显著性水平,越大,犯第一类错误的概率越大,即越显著.本引例中犯第一类错误的概率=P(拒绝H0|H0为真)(66.82469.18)PXX0.05若H0为真,则23.6~(68,)36XN246062.56567.57072.5750.020.040.060.080.10.1267.57072.57577.58082.50.020.040.060.080.10.12/2/2H0真H0不真25一般,作假设检验时,先控制犯第一类错误的概率,在保证的条件下使尽量地小.要降低一般要增大样本容量.本课程仅考虑控制.备择假设可以是单侧的,也可以是双侧的.引例中的备择假设是双侧的.如果根据以往的生产情况,0=68.现采用了新工艺,关心的是新工艺能否提高螺钉强度,越大越好.此时,可作如下的假设检验:注1º注2º26右侧检验：原假设H0:=68；备择假设H1:68当原假设H0:=0=68为真时,取较大值的概率较小0X当备择假设H1:68为真时,取较大值的概率较大0X给定显著性水平,根据01XPzn可确定拒绝域01(,)xzn27因而,接受域称这种检验为右侧检验.原假设H0:=0=68备择假设H1:68左侧检验01(,)xzn类似可确定拒绝域0(,)xzn因而,接受域0(,+)xzn28显著性水平和拒绝域(左侧检验)0临界值样本统计量拒绝H0抽样分布1-置信水平观察到的样本统计量29显著性水平和拒绝域(左侧检验)0临界值样本统计量拒绝H0抽样分布1-置信水平30显著性水平和拒绝域(右侧检验)0临界值样本统计量拒绝H0抽样分布1-观察到的样本统计量置信水平31显著性水平和拒绝域(右侧检验)0临界值样本统计量抽样分布1-置信水平拒绝H032关于零假设与备择假设的选取H0与H1地位应平等,但在控制犯第一类错误的概率的原则下,使得采取拒绝H0的决策变得较慎重,即H0得到特别的保护.因而,通常把有把握的、有经验的结论作为原假设,或者尽可能使后果严重的错误成为第一类错误.注3º33假设检验的步骤根据实际问题所关心的内容,建立原假设H0与备择假设H1在H0为真时,选择一个合适的检验统计量V,它的分布是已知的,由H1确定拒绝域的形式给定显著性水平,对应的拒绝域双侧检验221()()VVVV右边检验1()VV左边检验()VV其中1()PVV34第二节正态总体均值和方差的假设检验一.设X~N(,2),而2为已知.U检验(1)已知2.待检验的假设:H0:=0,检验水平:(给定的小量)----双边检验第一步提出假设H0:=0(原假设);H1:0(备选假设).第二步构建检验统计量)0~0,1/XUNn35第三步确定拒绝域222111{||}(,)(,)PUzuzz第四步由样本提供的信息计算出u的值,并对H0的正确性进行推断.0/xun若则拒绝原假设(H0伪)若则接受原假设(H0真)21||uz21||uz第五步给出结论假设检验统计量拒绝域推断结论36例1我国健康成年男子的脉搏平均为72次/分，标准差为6.4次/分,现从某体院男生中,随机抽出25人,测得平均脉搏为68.6次/分.根据经验脉搏X服从正态分布.如果标准差不变,试问该体院男生的脉搏与一般健康成年男子的脉搏有无差异？并求出体院男生脉搏的置信区间.)05.0解：此例是在已知=6.4的情况下，0~(0,1)/xUNn第二步统计量第一步检验假设H0:=72,370068.672||2.6566.4/5xun对于=0.05，查标准正态分布表得96.1975.021zz因为|u0|=2.6561.96，故拒绝H0.第三步确定拒绝域拒绝域:|u|1.96第五步结论该体院男生的脉搏与一般健康成年男子的脉搏存在差异。第四步现在n=25,=68.6,x由于126.468.61.9666.125xzn126.468.61.9671.125xzn所以，该体院男生脉搏的95%的置信区间为[66.1,71.1]。39H0原假设;H1备选假设第一步提出假设H0:=0(原假设);H1:0(备选假设).第二步构建检验统计量)0~0,1/XUNn（2）（右边检验）H0:＝0；H1：0，此时样本信息显示0x第三步确定拒绝域11{}(,)PUzuz第四步由样本提供的信息计算出的值,并对H0的正确性进行推断.0/xun若则拒绝原假设(H0伪)若则接受原假设(H0真)1uz1uz第五步给出结论类似可以由左边检验。相应的拒绝域形式为11{}(,)PUzuz例2已知某零件的质量X~N(,2),由经验知=10g,2=0.05.技术改新后,抽取8个样品,测得质量(单位:g)为9.8,9.5,10.1,9.6,10.2,10.1,9.8,10.0,若方差不变,问平均质量是否比10为小？(取=0.05)解本例是一个左边检验问题,检验假设：01:10;:10HH选取统计量0/xUn42645.195.01zz由样本值计算出9.9x计算nxU/10的试验值并比较查标准正态分布表得10645.126.11005.0109.9/10znxu故接受假设10:0H在H0为真的条件下10~(0,1)/xUNn43作业•习题九344