概率统计和随机过程课件第二章 随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布1利用条件概率求积事件的概率就是乘法公式)0)(()()(APABPAPABP)0)(()()(BPBAPBPABP推广)0)(()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP乘法公式2内容复习B1B2BnAB1AB2ABnjiniiBBB1))((1jiniiABABABAA全概率公式与Bayes公式3niiABPAP1)()()()(1iniiBAPBP全概率公式Bayes公式)(ABPk)()(APABPkniiikkBAPBPBAPBP1)()()()(AnB意义：事件组一般是导致发生的所有可能的“原因”ABkB意义：发生时，其原因是的概率.A对有修正作用。4事件的独立性定义设A,B为两事件，若)()()(BPAPABP则称事件A与事件B相互独立四对事件BABABABA,;,;,;,任何一对相互独立，则其它三对也相互独立若,0)(,0)(BPAP则“事件A与事件B相互独立”和“事件A与事件B互斥”不能同时成立5定义三事件A,B,C相互独立是指下面的关系式同时成立：注：1)不能由关系式(1)推出关系式(2),反之亦然2)仅满足(1)式时,称A,B,C两两独立)()()()()()()()()(CPBPBCPCPAPACPBPAPABP(1))()()()(CPBPAPABCP(2)A,B,C相互独立A,B,C两两独立6常利用独立事件的性质计算它们的并事件的概率若n个事件A1,A2,…,An相互独立，则)()(211nniiAAAPAPniiAP1))(1(1)(121nAAAPniiAP1)(1)(121nAAAP)(1niiAPniiAP1))(1(17n重Bernoulli试验概型：AA,即可看作每次试验有两个可能的结果：10,)(ppAP设Bernoulli试验概型每次试验的结果与其他次试验无关——称为这n次试验是相互独立的将随机试验重复n次每次试验感兴趣的事件为A8一般地，若10,)(ppAP则nkppCkPknkknn,,2,1,0,)1()(n重Bernoulli试验概型感兴趣的问题为：在n次试验中事件A出现k次的概率，记为)(kPn9第二章随机变量及其分布为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的不同结果例抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用一个变量来描述反面向上正面向上,0,1)(X例电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个变量X来描述()0,1,2X10§2.1随机变量的概念定义设E是一随机试验，是它的样本空间，则称上的单值实值函数X()为随机变量随机变量一般用X,Y,Z,或小写希腊字母,,表示)(X实数按一定法则若随机变量的概念11随机变量是R上的映射，这个映射具有如下的特点：定义域:随机性:随机变量X的可能取值不止一个，试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值概率特性:X以一定的概率取某个值或某些值12AAXA,0,1称XA为事件A的示性变量引入随机变量后，用随机变量的等式或不等式表达随机事件在同一个样本空间可以同时定义多个随机变量随机变量的函数一般也是随机变量可以根据随机事件定义随机变量设A为随机事件，则可定义13如，若用X表示电话总机在9:00~10:00接到的电话次数，}100{X或)100(X——表示“某天9:00~10:00接到的电话次数超过100次”这一事件则14再如，用随机变量反面向上正面向上,0,1)(X描述抛掷一枚硬币可能出现的结果,则)1)((X—正面向上也可以用反面向上正面向上,1,0)(Y描述这个随机试验的结果15例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往需要多个指标，例如，身高、体重、头围等={儿童的发育情况}X()—身高Y()—体重Z()—头围各随机变量之间可能有一定的关系，也可能没有关系——即相互独立16随机变量的分类离散型随机变量非离散型随机变量—其中一种重要的类型为连续性随机变量◇任何随机现象可被随机变量描述◇借助微积分方法深入讨论引入随机变量重要意义17定义了一个x的实值函数，称为随机变量X的分布函数，记为F(x),即定义设X为随机变量,对每个实数x,随机事件)(xX的概率)(xXPxxXPxF),()(随机变量的分布函数18分布函数的性质F(x)单调不减，即)()(,2121xFxFxx1)(0xF且0)(lim,1)(limxFxFxxF(x)右连续，即)()(lim)0(0xFtFxFxt（为什么）19利用分布函数可以计算)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP)(1)(1)(aFaXPaXP（]ab]]（])0()()(aFaFaXP)0()(aFbF)()0(aFbF)0()0(aFbF)(bXaP)(bXaP)(bXaP请填空20)(xF2/103/1xx00x2/11x设随机变量X的分布函数：计算)0(XP)4/1(XP)4/1(XP)3/10(XP)3/10(XP)00()0()0(FFXP;3/103/1例1解21;012/712/7(1/4)PX(1/4)PX(1/4)1(1/4)PXF(01/3)PX(01/3)PX.3/23/13/1(1/4)(1/40)FF(1/4)(1/4)PXPX17/125/12(1/3)(0)2/31/31/3FF(0)(01/3)PXPX22§2.3离散型随机变量及其概率分布定义若随机变量X的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称X为离散型随机变量描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即,2,1,)(kpxXPkk离散型随机变量的概念Xkxxx21Pkppp21或23概率分布的性质,2,1,0kpk非负性11kkp规范性24F(x)是分段阶梯函数，在X的可能取值xk处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度pk离散型随机变量的分布函数1()()(0)()()kkkkkkpPXxFxFxFxFx))(()()(xxkkxXPxXPxFxxkxxkkkpxXP)(25•1•2••k•k+1•o•1•o•o•o1p2pkpF(X)26例1设一汽车在开往目的地的途中需经过4盏信号灯，每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过。令X表示首次停下时已通过的信号灯的盏数，求X的概率分布与p=0.4时的分布函数。出发地目的地3,2,1,0),1()(kppkXPk解4,)4(4kpXP27•0•1•2•3•4xx]],4.06.06.021x,6.010x,00x,4.06.04.06.06.0232x),4.04.04.01(6.03243x14x)(xF]•]••kpk012340.60.40.60.420.60.430.60.44当4.0p28•0•1•2•3•4xF(x)o•o•1•o•o•o29概率分布或分布函数可用来计算有关事件的概率例2在上例中，分别用概率分布与分布函数计算下述事件的概率：(13),(2)PXPX1344.06.04.06.04.0321344.06.04.06.04.032)31(XP)3()2(XPXP解)31(XP)1()3(FF或30(2)1(2)1[(0)(1)]10.840.16PXPXPXPX(2)1(2)1(2)(2)1(20)10.840.16PXPXPXPXF或此式应理解为极限)(lim2xFx31例3一门大炮对目标进行轰击，假定此目标必须被击中r次才能被摧毁。若每次击中目标的概率为p(0p1),且各次轰击相互独立，一次一次地轰击直到摧毁目标为止。求所需轰击次数X的概率分布。解P(X=k)=P(前k–1次击中r–1次，第k次击中目标)pppCrkrrk)1(111rkrrkppC)1(11,1,rrk32注1)1(11rkrkrrkppC利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质xxkk1111222)1(1)1(xxkkk1||x当333)1(2)2)(1(xxkkkk33321)1(1xxCkkk33rrkrkrkxxC)1(111归纳地令px1rrrkrkrkpppC1))1(1(1)1(111)1(11rkrkrrkppC34作业•习题二1，3，7，8，935