常微分方程3.2

§3.2解的延拓定理/Theoremonextensionofsolution/解的延拓的引入延拓方法局部利普希兹条件解的延拓定理及其推论例子推论解的延拓定理内容提要/ConstantAbstract/本节要求/Requirements/理解解的延拓方法。会应用解的延拓性定理估计解的存在区间。§3.2ExtensionTheorem一、解的延拓的引入1局部利普希兹条件),(yxfdxdy右端函数f(x,y)在某一有界区域G中有意义。如果称f(x,y)在G内满足局部利普希兹条件，即对区域G内的每一点，存在以其为中心的完全含于G内的矩形域R，在R上f(x,y)满足利普希兹条件。（注意：点不同，域R大小和常数L可能不同）§3.2ExtensionTheorem2解的延拓设],[)(baxxy是)2.1.3...(..........)()1.1.3().........,(00yxyxfdxdy的解，若也是初值问题的解，],[)(11baxxy],[],[11baba，当时，],[bax)()(xx则称解是解)(x)(x在区间],[ba上的延拓。§3.2ExtensionTheoremxyO0x0y2xhxx01112hxx1hh1x1y2y)(01hxy)(112hxyy),(00yxP],[)(00hxhxxxy),(11yxQ],()(],[)(10000hhxhxxxhxhxxxy3延拓方法§3.2ExtensionTheorem二、解的延拓定理及其推论1解的延拓定理如果方程(3.1)右端的函数),(yxf在有界区域G中连续，且在G内满足局部利普希兹条件，那么方程(3.1)通过G内任何一点),(00yx的解)(xy可以延拓。直到点))(,(xx任意接近区域G的边界。以向x增大的一方的延拓来说，如果)(xy只能延拓的区间mxx0上，则当mx时，))(,(xx趋近于区域G的边界。§3.2ExtensionTheorem2推论如果G是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下,方程(3.1)的通过点),(00yx的解)(xy以向x增大的一方的延拓来说，有下面的两种情况:可以延拓，(1)解)(xy可以延拓到区间),[0x(2)解)(xy只可以延拓到区间),[0mx其中m为有限数，则当mx时，或者)(xy无界，或者))(,(xx趋于区域G的边界。§3.2ExtensionTheorem例1讨论方程212ydxdy以及通过点(ln2,-3)的解的存在区间。解的通过点(0,0)的解方程右端函数在整个xy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件。xxcecey11方程的通解为通过点(0,0)的解为xxeey11其存在区间为),(通过点(ln2,-3)的解为xxeey11其存在区间为x0§3.2ExtensionTheorem-3(ln2,-3)-1xy1ln2但向左方只能延拓到0,过点(ln2,-3)的解向右可以延拓到xxeey11因为当0x时,y这相当于解的延拓定理推论中(2)的第一种情况。注意：(无界)§3.2ExtensionTheorem例2讨论方程xdxdyln1的解的存在区间。满足条件0)1(y方程右端函数右半平面x0上定义且满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件。解通过点(1,0)的解为xxyln其存在区间为),0(，但向左方只能延拓到0,向右可以延拓到因为当0x时,0lnxxy这相当于解的延拓定理推论中(2)的第二种情况。(趋于G的边界y=0)§3.2ExtensionTheorem例3用解的延拓定理证明如果f(x,y)在整个xy平面上定义、连续和有界，存在关于y的一阶连续偏导数，则方程),(yxfdxdy的任一解均可以延拓到区间。),(00)(),(yxyyxfdxdy证明)(xyKyxf),(KxK)(§3.2ExtensionTheorem)(xy所以值域在如图的阴影区内，否则)(xy将穿过直线)(00xxKyy)(00xxKyyxyo)(00xxKyy)(00xxKyyx0y0)(xyx1则会有Kx)(与Kyxf),(11矛盾。由解的延拓定理推论，方程的任一解均可以延拓到区间。),(§3.2ExtensionTheorem2设线性方程)()(xQyxpdxdy当P(x),Q(x)在区间上连续，则由任一初值),(),(00yx所确定的解在整个区间上都存在。),(0x),(练习1讨论方程2ydxdy的解的存在区间。上满足条件1)1(y31x1)1(yand)3,0(),2,1(在§3.2ExtensionTheorem思考题1）求方程22yxdxdy满足条件0)0(y的解的逐次逼近),(),(),(321xyxyxy以及h的最大值。2）设f(x,y)在整个xy平面上连续，证明从两曲线之间任一点出发的且满足方程的解必xey),(00yx),()(22yxfeydxdyx可延拓到半无限区间。),(0x§3.2ExtensionTheorem3）求具有性质)()()()()(sxtxsxtxstx1的函数x(t)，已知)(0x存在。解0st)()()(010202xxx00)(xstxstx)()(stxsxtxsxtx)()()()()(1ssxtxsxtxtxsxtx)()()()()()()(12)()())()((sxtxtxsxs1112§3.2ExtensionTheoremstxstx)()()()())()((sxtxtxsxs1112)(txsxsxtxs)()(lim))((0102)())((012xtx)(tx)())((012xtxdtxxdx)(012arctan(0)xxt))(tan()(ctxtx0))(tan()(txtx000)(x§3.2ExtensionTheorem